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Cônes, pyramides-géométrie dans l'es
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Message de lolly123 posté le 24-04-2013 à 11:09:16 (S | E | F)
Bonjour, je suis en 2nde et j’ai un DM de deux exercices sur la géométrie dans l’espace ; j’ai beaucoup de mal à répondre aux questions et aussi à rédiger de façon claire et en expliquant mes réponses, je me perds souvent dans mes justifications…
Pourriez-vous m’aider, s’il vous plaît ? Merci d’avance. Je vous laisse ci-dessous mon sujet ainsi que mes recherches :
Exercice 1 :
Le point S est le sommet d'un cône, le point O le centre de son cercle de base et A un point de ce cercle.
Le point I est le milieu de [OS] et le point B celui de [AS].
On admet que le plan perpendiculaire à (OS) passant par I coupe le cône suivant un cercle de centre I passant par B.
1. a. Démontrer que OA=2IB
b. En déduire que les droites (OA) et (IB) sont parallèles.
2. On sait que OA=4cm, et que le volume du cône est égal à 48π cm3.
Déterminer, en fonction de π, le volume de la partie colorée du cône.
(Je ne sais pas comment insérer une image, mais la partie colorée du cône sur mon sujet correspond au volume du grand cône qui a pour base le cercle de centre O et qui passe par A, moins le volume du petit cône qui a pour base le cercle de centre I et qui passe par
(Aide : déterminer la hauteur du cône et en déduire la hauteur SI du cône de sommet S et de base le cercle C. Puis, calculer ainsi le volume du cône de sommet S et de base le cercle C Enfin, en utilisant les questions précédentes, déterminer, en fonction de π, le volume de la partie colorée du cône.)
Voici mes recherches :
Exercice 1 :
1.a. On sait que I est le milieu de [OS], donc OI=IS, soit SI=1/2 SO. Donc le cercle de centre I passant par B est une réduction du cercle de la base. Le coefficient de réduction est égal à SI/SO, soit 1/2. De plus, [OA] est un rayon du cercle de la base et [IB] est un rayon du cercle étant une réduction de la base. Cette réduction étant égale à 1/2, on a bien OA=2 IB.
b. On sait que (OA) est perpendiculaire à (SO) car (OA) est le rayon du cercle de la base et (SO) est la hauteur du cône. Donc, comme le cercle de centre I passant par B est une réduction de la base et que son centre I appartient à la hauteur du cône, alors la section du cône de révolution est un plan parallèle à la base. Donc, (OA) est parallèle à (IB).
2. On sait que OA = 4cm. Le volume du cône est calculé d’après la formule : B( x h) / 3 soit
(π x r^2 x h) / 3 (car B représente l’aire de la base qui est un cercle). Il faut donc déterminer la hauteur du cône. (je ne sais pas comment faire…)
Exercice 2 :
ABCDE est une pyramide régulière à base carrée. F est le milieu de [AC] et H le point de [AE] tel que AH=3/4 AE.
Montrer que la droite (FH) et le plan (CDE) sont sécants en un point que l'on placera sur la figure reproduite.
(Aide : Montrer que (FH) n'est pas incluse dans le plan (CDE).
Montrer que, dans le plan (ACE), les droites (FH) et (CE) sont sécantes.
En déduire que la droite (FH) et le plan (CDE) sont sécants en un point)
Mon travail :
Exercice 2 :
Montrons que (FH) et le plan (CDE) sont sécants en un point :
- H qui appartient à [AE] n’appartient pas au plan (CDE) donc (FH) n’est pas incluse dans le plan (CDE)
- On a : E appartient à (ACE), et C appartient à (ACE).
On en déduit que (CE) est incluse dans le plan (ACE).
De plus F appartient à (AC)
Et (AC) est incluse dans (ACE).
Ainsi, F appartient au plan (ACE).
De même, on a : H appartient à (AE)
Et (AE) est incluse dans (ACE).
Ainsi, H appartient au plan (ACE).
Donc, on en déduit que la droite (FH) est incluse dans le plan (ACE).
On a donc montré que les droites (FH) et (CE) sont coplanaires dans le plan (ACE). Or, F qui appartient à (FH) n’appartient pas à (CE) ; donc, dans ce plan, les droites (CE) et (FH) sont sécantes en un point que l’on appellera L. Donc les droites (CE) et (FH) sont sécantes en L.
- (CE) est incluse dans le plan (CDE) ; or, cette droite est sécante en L avec (FH). Donc (FH) et le plan (CDE) sont sécants en L. On a bien montré que (FH) et (CDE) sont sécants en un point.
Merci d’avance pour vos réponses.
Message de lolly123 posté le 24-04-2013 à 11:09:16 (S | E | F)
Bonjour, je suis en 2nde et j’ai un DM de deux exercices sur la géométrie dans l’espace ; j’ai beaucoup de mal à répondre aux questions et aussi à rédiger de façon claire et en expliquant mes réponses, je me perds souvent dans mes justifications…
Pourriez-vous m’aider, s’il vous plaît ? Merci d’avance. Je vous laisse ci-dessous mon sujet ainsi que mes recherches : Exercice 1 :
Le point S est le sommet d'un cône, le point O le centre de son cercle de base et A un point de ce cercle.
Le point I est le milieu de [OS] et le point B celui de [AS].
On admet que le plan perpendiculaire à (OS) passant par I coupe le cône suivant un cercle de centre I passant par B.
1. a. Démontrer que OA=2IB
b. En déduire que les droites (OA) et (IB) sont parallèles.
2. On sait que OA=4cm, et que le volume du cône est égal à 48π cm3.
Déterminer, en fonction de π, le volume de la partie colorée du cône.
(Je ne sais pas comment insérer une image, mais la partie colorée du cône sur mon sujet correspond au volume du grand cône qui a pour base le cercle de centre O et qui passe par A, moins le volume du petit cône qui a pour base le cercle de centre I et qui passe par
(Aide : déterminer la hauteur du cône et en déduire la hauteur SI du cône de sommet S et de base le cercle C. Puis, calculer ainsi le volume du cône de sommet S et de base le cercle C Enfin, en utilisant les questions précédentes, déterminer, en fonction de π, le volume de la partie colorée du cône.)
Voici mes recherches :
Exercice 1 :
1.a. On sait que I est le milieu de [OS], donc OI=IS, soit SI=1/2 SO. Donc le cercle de centre I passant par B est une réduction du cercle de la base. Le coefficient de réduction est égal à SI/SO, soit 1/2. De plus, [OA] est un rayon du cercle de la base et [IB] est un rayon du cercle étant une réduction de la base. Cette réduction étant égale à 1/2, on a bien OA=2 IB.
b. On sait que (OA) est perpendiculaire à (SO) car (OA) est le rayon du cercle de la base et (SO) est la hauteur du cône. Donc, comme le cercle de centre I passant par B est une réduction de la base et que son centre I appartient à la hauteur du cône, alors la section du cône de révolution est un plan parallèle à la base. Donc, (OA) est parallèle à (IB).
2. On sait que OA = 4cm. Le volume du cône est calculé d’après la formule : B( x h) / 3 soit
(π x r^2 x h) / 3 (car B représente l’aire de la base qui est un cercle). Il faut donc déterminer la hauteur du cône. (je ne sais pas comment faire…)
Exercice 2 :
ABCDE est une pyramide régulière à base carrée. F est le milieu de [AC] et H le point de [AE] tel que AH=3/4 AE.
Montrer que la droite (FH) et le plan (CDE) sont sécants en un point que l'on placera sur la figure reproduite.
(Aide : Montrer que (FH) n'est pas incluse dans le plan (CDE).
Montrer que, dans le plan (ACE), les droites (FH) et (CE) sont sécantes.
En déduire que la droite (FH) et le plan (CDE) sont sécants en un point)
Mon travail :
Exercice 2 :
Montrons que (FH) et le plan (CDE) sont sécants en un point :
- H qui appartient à [AE] n’appartient pas au plan (CDE) donc (FH) n’est pas incluse dans le plan (CDE)
- On a : E appartient à (ACE), et C appartient à (ACE).
On en déduit que (CE) est incluse dans le plan (ACE).
De plus F appartient à (AC)
Et (AC) est incluse dans (ACE).
Ainsi, F appartient au plan (ACE).
De même, on a : H appartient à (AE)
Et (AE) est incluse dans (ACE).
Ainsi, H appartient au plan (ACE).
Donc, on en déduit que la droite (FH) est incluse dans le plan (ACE).
On a donc montré que les droites (FH) et (CE) sont coplanaires dans le plan (ACE). Or, F qui appartient à (FH) n’appartient pas à (CE) ; donc, dans ce plan, les droites (CE) et (FH) sont sécantes en un point que l’on appellera L. Donc les droites (CE) et (FH) sont sécantes en L.
- (CE) est incluse dans le plan (CDE) ; or, cette droite est sécante en L avec (FH). Donc (FH) et le plan (CDE) sont sécants en L. On a bien montré que (FH) et (CDE) sont sécants en un point.
Merci d’avance pour vos réponses.
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de toufa57, postée le 24-04-2013 à 14:52:23 (S | E)
Bonjour,
1) Lolly, si tu regardes bien ta figure, tu es face à une configuration de Thalès. Son théorème te permet de résoudre la question a) et en déduire b)
2) Pour trouver le volume de la partie hachurée, tu dois soustraire le volume du petit cône de celui du grand cône. Pour cela, tu poses ta formule 1/3 base*hauteur = 48pi cm³ et tu déduis h. Bien entendu, la base et la hauteur changent pour les 2 calculs.
Bon travail !
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de wab51, postée le 24-04-2013 à 20:35:41 (S | E)
Bonsoir lolly :Voilà ,peut etre encore 3 figures géométriques qui peuvent t'aider dans le raisonnement .(Mon salut à Toufa).Bon courage .
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de wab51, postée le 24-04-2013 à 22:12:11 (S | E)
Bonsoir :Effectivement comme l'a dit toufa ,les points S,B,A et S,I,O forment une configuration de Thalès ,mais on ne pourra pas appliquer le théorème de Thalès ,car les droites (OA)et (IB)n'ont pas été données comme parallèles (c'est une question qu'on demande d'en déduire de 1)). Dans ses conditions ,et pour démontrer que OA=2IB ?:
*Il faut considérer les deux triangles rectangles SIB rectangle en I et SOA rectangle en O ,puis d’appliquer le théorème de Pythagore respectivement pour ses deux triangles rectangles et puis en tenant compte des hypothèses que I milieu de [SO],ce qui signifie SO=2SI et que B milieu de [SA] signifie AS=2BS .,alors après une toute manipulation de calcul ,on aboutit au résultat OA=2IB .
**Pour 1b)L'application de la réciproque du théorème de Thalès permet d'en déduire que que les droites(OA)et(IB) sont parallèles.? Bonne continuation et bon courage .
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de toufa57, postée le 25-04-2013 à 01:54:44 (S | E)
Bonjour,
Salut wab et merci d'avoir relevé mon lapsus. En effet, j'ai été trop vite...
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de wab51, postée le 25-04-2013 à 12:22:44 (S | E)
Bonjour toufa .Ce n'est pas du tout un problème.Ce n'est qu'une petite erreur par inadvertance qui peut arriver à tout le monde .
.Très bonne journée . Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de lolly123, postée le 25-04-2013 à 14:52:40 (S | E)
Bonjour,
Tout d'abord, merci Toufa et Wab pour votre aide, et pardon pour le retard de ma réponse (j'ai du m'absenter hier).
J'ai rencontré quelques problèmes dans mon travail...
Voici ce que je suis arrivée à faire : (mes questions sont en bleu)1.a. On considère les deux triangles rectangles SIB rectangle en I et SOA rectangle en O.
(comment justifie-t-on qu'ils sont rectangles? Ou existe-t-il une propriété concernant le rayon de la base et la hauteur du cône qui pourrait confirmer cela?)
D'après le théorème de Pythagore, on a :
- pour SOA : SA²=SO²+OA²
- pour SIB : SB=SI²+IB²
On sait que I et B sont les milieux respectifs de [OS] et [AS], et donc que SO=2SI, et AS=2BS.
Ainsi on peut écrire :
- SA²=SO²+OA²
2BS²=2SI²+OA²
soit OA²=2BS²-2SI²
√OA²=√2BS²-√2SI²
OA=2BS-2SI
Or, on avait pour SIB : SB=SI²+IB², on peut écrire que cela est égal à 2SB=2SI+IB ou bien 2IB=2BS-2SI.
On a ainsi OA=2BS-2SI et 2IB=2BS-2SI. On en conclut que OA=2IB.
b. Pour cette partie, j'ai un petit souci car mon prof nous a recommandé de ne pas utiliser le théorème de Thalès... Je me demande donc si la propriété des deux droites perpendiculaires à une même droite pouvaient suffire?
2. On sait que OA = 4cm. Le volume du cône est calculé d’après la formule : 1/3(π x r² x h).
On écrit alors :
- Pour le grand cône : 1/3(π x OA² x h)= 48π cm³.
1/3(π x 4² x h)= 48π cm³
1/3(π x 4²)= 16/3π cm³
et 48π/(16/3π)=9
donc 1/3(π x 4² x 9)= 48π cm³
Donc la hauteur du cône OS est de 9 cm.
-Pour le petit cône :
1/3(π x r² x h)=
1/3(π x IB² x h)
On sait que la hauteur est SI et SO=2SI soit SI=1/2SO=1/2(9)=4.5.
De plus, IB=1/2OA soit IB=1/2(4)=2, ainsi :
1/3(π x 2² x 4.5)=
6π cm³.
Donc le cône de hauteur SI a pour volume 6π cm³.
- Le volume de la partie colorée correspond à la différence entre le volume du cône de hauteur SO et celui du cône de hauteur SI :
48π-6π=42π
Donc le volume de la partie colorée est de 42π cm³.
Pouvez vous me dire ce que vous en pensez s'il vous plaît?
En vous remerciant.
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de lolly123, postée le 25-04-2013 à 15:43:35 (S | E)
PS : j'allais oublier, qu'en est-il du deuxième exercice? Comme vous ne m'avez rien dit sur la seconde partie de mon devoir, est ce que ça veut dire que c'est juste?
Encore merci pour votre aide et désolée de vous déranger!
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de wab51, postée le 25-04-2013 à 16:42:49 (S | E)
Bonjour lolly :
1.a. On considère les deux triangles rectangles SIB rectangle en I et SOA rectangle en O.
(comment justifie-t-on qu'ils sont rectangles? Ou existe-t-il une propriété concernant le rayon de la base et la hauteur du cône qui pourrait confirmer cela?)
*Oui.L'axe (SO)est axe de symétrie pour le cône droit et il est perpendiculaire au plan de la base donc perpendiculaire à tous les rayons du cercle de la base,en particulier (SO) est perpendiculaire à [OA].Il en de même pour le rayon [IB] car il appartient au plan perpendiculaire au plan de la base du cône .
D'après le théorème de Pythagore, on a :
- pour SOA : SA²=SO²+OA²(exact)
- pour SIB : SB=SI²+IB² (exact)
On sait que I et B sont les milieux respectifs de [OS] et [AS], et donc que SO=2SI, et AS=2BS.(exact)
Ainsi on peut écrire :
- SA²=SO²+OA²(exact)
2
BS²=2SI²+OA²(erreur de calcul:AS=2BS entraine que (AS)²=(2BS)²=(...)²BS² .Corrige?*Meme erreur faite sur le calcul de SO² .Refais le calcul?.
*Ensuite tu remplaces par les vraies valeurs ,tu continues dans le meme raisonnement et tu obtiens facilement ta relation .
OA=2IB.
b. Pour cette partie, j'ai un petit souci car mon prof nous a recommandé de ne pas utiliser le théorème de Thalès... Je me demande donc si la propriété des deux droites perpendiculaires à une même droite pouvaient suffire?
Oui,parfaitement d'accord et on peut s'en passer du théorème réciproque de Thalès .Très bonne idée et on peut directement appliquer "la propriété des deux droites perpendiculaires à une même droite ..."comme tu l'as dit.
2. On sait que OA = 4cm. Le volume du cône est calculé d’après la formule : 1/3(π x r² x h).
On écrit alors :
- Pour le grand cône : 1/3(π x OA² x h)= 48π cm³.
1/3(π x 4² x h)= 48π cm³
1/3(π x 4²)= (16/3).π cm³ (attention la parenthèse)
et h=48π/(16/3π)=9cm
donc 1/3(π x 4² x 9)= 48π cm³
Donc la hauteur du cône OS est de 9 cm.exacte)
-Pour le petit cône :
1/3(π x r² x h)=
1/3(π x IB² x h)
On sait que la hauteur est SI et SO=2SI soit SI=1/2SO=1/2(9)=4.5.
De plus, IB=1/2OA soit IB=1/2(4)=2, ainsi :
1/3(π x 2² x 4.5)=
6π cm³.
Donc le cône de hauteur SI a pour volume 6π cm³.(exact)
- Le volume de la partie colorée correspond à la différence entre le volume du cône de hauteur SO et celui du cône de hauteur SI :
48π-6π=42π
Donc le volume de la partie colorée est de 42π cm³.(exact).Bravo!!!
*Reprends simplement la correction des petites erreurs de calcul précédemment signalées .Bravo encore une fois .Félicitations
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de wab51, postée le 25-04-2013 à 16:57:39 (S | E)
Voilà,je reviens rapidement pour le 2ième exercice .Personnellement ,je trouve que ta solution est juste ,précise et bien détaillée .Pour ma part ,je renforce vos résultats en joignant cette figure . 
.
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de lolly123, postée le 26-04-2013 à 13:08:23 (S | E)
Merci beaucoup, Wab d'avoir pris le temps de corriger mes erreurs!
Voici mon nouveau travail :
1.a. On considère les deux triangles rectangles SIB rectangle en I et SOA rectangle en O.
En effet, l'axe (SO)est axe de symétrie pour le cône droit et il est perpendiculaire au plan de la base donc perpendiculaire à tous les rayons du cercle de la base,en particulier (SO) est perpendiculaire à [OA].Il en de même pour le rayon [IB] car il appartient au plan perpendiculaire au plan de la base du cône .
D'après le théorème de Pythagore, on a :
- pour SOA : SA²=SO²+OA²
- pour SIB : SB=SI²+IB²
On sait que I et B sont les milieux respectifs de [OS] et [AS], et donc que SO=2SI, et AS=2BS.
Ainsi on peut écrire :
- SA²=SO²+OA²
(2BS)²=(2SI)²+OA²
soit OA²=(2BS)²-(2SI)²
√OA²=√(2BS)²-√(2SI)²
OA=2BS-2SI
Or, on avait pour SIB : SB=SI²+IB², on peut écrire que cela est égal à 2SB=2SI+IB ou bien 2IB=2BS-2SI.
On a ainsi OA=2BS-2SI et 2IB=2BS-2SI. On en conclut que OA=2IB.
b. On sait que (IB) et (OA) sont perpendiculaires à (SO).
Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Donc (IB) et (OA) sont bien parallèles.
2. On sait que OA = 4cm. Le volume du cône est calculé d’après la formule : 1/3(π x r² x h).
On écrit alors :
- Pour le grand cône : 1/3(π x OA² x h)= 48π cm³.
1/3(π x 4² x h)= 48π cm³
1/3(π x 4²)= (16/3).π cm³
et h=48π/(16/3π)=9cm
donc 1/3(π x 4² x 9)= 48π cm³
Donc la hauteur du cône OS est de 9 cm.
-Pour le petit cône :
1/3(π x r² x h)=
1/3(π x IB² x h)
On sait que la hauteur est SI et SO=2SI soit SI=1/2SO=1/2(9)=4.5.
De plus, IB=1/2OA soit IB=1/2(4)=2, ainsi :
1/3(π x 2² x 4.5)=
6π cm³.
Donc le cône de hauteur SI a pour volume 6π cm³.
- Le volume de la partie colorée correspond à la différence entre le volume du cône de hauteur SO et celui du cône de hauteur SI :
48π-6π=42π
Donc le volume de la partie colorée est de 42π cm³.
En ce qui concerne l'exercice 2, merci d'avoir pris le temps de le regarder et d'avoir fait cette figure, elle résume parfaitement l'exercice et m'a aidée à mieux visualiser le point d'intersection! Merci beaucoup!!!
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de wab51, postée le 26-04-2013 à 13:26:34 (S | E)
Bonjour lolly :Encore ,une toute petite correction de calcul (tu n'as suivi cette recommandation et tu avais fais la meme erreur).Voici la correction
Ainsi on peut écrire :
- SA²=SO²+OA²
(2BS)²=(2SI)²+OA²
soit OA²=(2BS)²-(2SI)² (attention ,tu refais la meme erreur
(2BS)²=2².BS²=4BS² meme chose pour :(2SI)²=4SI² .)
OA²=4BS² - 4SI² =4(BS²-SI²).Or on sait que BI²=BS²-SI²(Pythagore)
donc OA²=4BI² ,d’où OA=2BI.
Mes félicitations les plus sincères .Excellents résultats et bonne réussite
et bonne journée Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de lolly123, postée le 26-04-2013 à 14:22:39 (S | E)
Merci pour votre réponse et pour la correction ; j'avais oublié comment distribuer le "²" et donc que (2BS)² était égal à 2².BS²...
Ainsi on peut écrire :
- SA²=SO²+OA²
(2BS)²=(2SI)²+OA²
soit OA²=(2BS)²-(2SI)²
OA²=2².BS²-2².SI²
OA²=4BS²-4SI²
OA²=4(BS²-SI²)
Or on sait que BI²=BS²-SI²(Pythagore)
donc OA²=4BI² ,d’où OA=2BI.
Encore merci beaucoup pour votre aide
Et bonne journée à vous aussi!
Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de wab51, postée le 26-04-2013 à 14:25:18 (S | E)
Parfait lolly et très content de toi .
.A une prochaine fois .et à toi aussi .Réponse: Cônes, pyramides-géométrie dans l'es de lolly123, postée le 26-04-2013 à 15:00:32 (S | E)
Mais merci à vous, c'est très gentil de m'avoir aidée!
Oui à une prochaine fois!
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