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Problème - géométrie dans l'espace
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Message de lolly123 posté le 09-05-2013 à 15:44:45 (S | E | F)
Bonjour,
Je suis en 2nde et j'ai un DM sur la géométrie dans l'espace. J'ai beau me creuser la tête, je ne trouve que des pistes de recherche et pas de réponses, je trouve ce devoir assez dur... Est ce que vous pourriez m'aider, m'indiquer des pistes,√ s'il vous plaît? Merci d'avance!
Voilà mon sujet :
Une fourmi alléchée par l'odeur du sucre mais paresseuse se demande quel est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa convoitise.
On suppose que le cube ABCDA'B'C'D' a pour arête 3cm et que S est le milieu de [A'D'] et que BM = 1cm.
On souhaite savoir en quel point N de l'arête [A'B'] la fourmi doit passer pour que le trajet MNS soit le plus court possible.
On pose x la longueur A'N.
1.a. Quelles valeurs peut prendre la variable x? On appellera cet ensemble de valeurs D.
b. Calculer la longueur SN.
c. Calculer la longueur NM.
d. On appellera f(x) la distance à parcourir pour la fourmi en fonction de x. Montrer que f(x)= 2.25+x²+ (3-x)²+4
2. Grâce au logiciel de calcul formel Xcas, on a obtenu :
fMin(sqrt(2.25+x)+sqrt((3-x)²+4))
= 1.28571428571
f(1.28571428571)
= 9.2110294072
(on précise que la commande "fMin" renvoie la valeur de x en laquelle le minimum de la fonction est atteint et que "sqrt" est la racine carrée)
Déterminer alors une valeur approchée à 10 puissance -1 du minimum de f sur D et la valeur de x en laquelle il est ateint.
Et voici mes recherches :
1.a. La variable x peut être comprise entre 0 et 3cm.
En effet, il s'agit d'une longueur donc elle ne peut pas être négative ; et de plus, ABCDA'B'C'D' est un cube donc chaque arête a la même longueur : comme on donne le cube a pour arête 3cm alors A'B'=3cm. Et comme N est un point de l'arête [A'B'], alors la longueur A'N ne peut pas être supérieure à la longueur A'B'.
Ainsi on a : D appartient à 0cm
b. ABCDA'B'C'D' est un cube donc toutes ses faces sont des carrés. Ainsi A'B'C'D' est un carré. Donc l'angle A' est un angle droit. On en déduit que le triangle SA'N est rectangle en A'.
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SN²=A'S²+A'N²
SN²=1.5²+x (on sait que A'S=1.5 car S est le milieu de [A'D'] qui est de 3cm, et A'N=x)
SN²=2.25+x
SN=√2.25+x
Mais à partir de là je ne sais pas comment faire...
c. De même pour MN :
ABCDA'B'C'D' est un cube donc toutes ses faces sont des carrés. Ainsi A'B'BA est un carré. Donc l'angle B' est un angle droit. On en déduit que le triangle NB'M est rectangle en B'.
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
MN²=B'N²+B'M²
MN²=(A'B'-A'N)²+2² (on sait que BM=1cm et qu'une arête est égale à cm ; comme BB'=3cm et BM=1cm alors B'M=3-1=2cm)
On ne connaît pas B'N donc je suis bloquée...
Et pour les questions 1.d. et 2., je suis complètement perdue...
Message de lolly123 posté le 09-05-2013 à 15:44:45 (S | E | F)
Bonjour,
Je suis en 2nde et j'ai un DM sur la géométrie dans l'espace. J'ai beau me creuser la tête, je ne trouve que des pistes de recherche et pas de réponses, je trouve ce devoir assez dur... Est ce que vous pourriez m'aider, m'indiquer des pistes,√ s'il vous plaît? Merci d'avance!
Voilà mon sujet :
Une fourmi alléchée par l'odeur du sucre mais paresseuse se demande quel est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa convoitise.
On suppose que le cube ABCDA'B'C'D' a pour arête 3cm et que S est le milieu de [A'D'] et que BM = 1cm.
On souhaite savoir en quel point N de l'arête [A'B'] la fourmi doit passer pour que le trajet MNS soit le plus court possible.
On pose x la longueur A'N.
1.a. Quelles valeurs peut prendre la variable x? On appellera cet ensemble de valeurs D.
b. Calculer la longueur SN.
c. Calculer la longueur NM.
d. On appellera f(x) la distance à parcourir pour la fourmi en fonction de x. Montrer que f(x)= 2.25+x²+ (3-x)²+4
2. Grâce au logiciel de calcul formel Xcas, on a obtenu :
fMin(sqrt(2.25+x)+sqrt((3-x)²+4))
= 1.28571428571
f(1.28571428571)
= 9.2110294072
(on précise que la commande "fMin" renvoie la valeur de x en laquelle le minimum de la fonction est atteint et que "sqrt" est la racine carrée)
Déterminer alors une valeur approchée à 10 puissance -1 du minimum de f sur D et la valeur de x en laquelle il est ateint.
Et voici mes recherches :
1.a. La variable x peut être comprise entre 0 et 3cm.
En effet, il s'agit d'une longueur donc elle ne peut pas être négative ; et de plus, ABCDA'B'C'D' est un cube donc chaque arête a la même longueur : comme on donne le cube a pour arête 3cm alors A'B'=3cm. Et comme N est un point de l'arête [A'B'], alors la longueur A'N ne peut pas être supérieure à la longueur A'B'.
Ainsi on a : D appartient à 0cm
b. ABCDA'B'C'D' est un cube donc toutes ses faces sont des carrés. Ainsi A'B'C'D' est un carré. Donc l'angle A' est un angle droit. On en déduit que le triangle SA'N est rectangle en A'.
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
SN²=A'S²+A'N²
SN²=1.5²+x (on sait que A'S=1.5 car S est le milieu de [A'D'] qui est de 3cm, et A'N=x)
SN²=2.25+x
SN=√2.25+x
Mais à partir de là je ne sais pas comment faire...
c. De même pour MN :
ABCDA'B'C'D' est un cube donc toutes ses faces sont des carrés. Ainsi A'B'BA est un carré. Donc l'angle B' est un angle droit. On en déduit que le triangle NB'M est rectangle en B'.
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
MN²=B'N²+B'M²
MN²=(A'B'-A'N)²+2² (on sait que BM=1cm et qu'une arête est égale à cm ; comme BB'=3cm et BM=1cm alors B'M=3-1=2cm)
On ne connaît pas B'N donc je suis bloquée...
Et pour les questions 1.d. et 2., je suis complètement perdue...
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de abirsh, postée le 09-05-2013 à 18:17:54 (S | E)
Bonjour,
Tout d'abord je resous en supposant que M est un point de BB' car ce n 'est pas clair mais c'est ce que j'ai pu comprendre.
1)a)vous avez raison x est entre 0 et 3 cm donc l'ensemble des valeurs de x est D = [0;3] c'est l'ensemble des points x c'est a dire x peut etre 0 lorsque N est sur A' , peut etre 0,1 0,153 ... 1.5 1.3256 2.38 etc... et finalement 3 cm lorsque N atteint sur le point B'.
b. C'est juste comme vous avez raisonner pythagore... mais SN^2 =2.25 + X^2 ET NON PAS X . Je ne sais pas pourquoi vous avez ecrit x . Et alors la racine carree de SN^2 est SN = sqrt ( 2.25 + X ) car on ne peut pas separe la racine carree en deux lorsqu'on a addition ( excusez moi mais je n'est pas les symboles parceque j'utilise mon telephone mobile ) mais lorsqu'on a sqrt ( a^2 + b^2) c'est different que a + b ; ca reste comme elle est sauf si on peut calculer la somme des carres et parsuite on cherche la reponse , si non ca reste inchangeable .
Donc finalement on a SN = 2.25 + X
C. Meme raisonnement : NM ^2 = NB'^2 + B'M^2 = (A'B'-A'N)^2 + (B'B-MB)^2= ( 3 - X )^2 + ( 3 - 1 )^2 = ( 3 - x )^2 + 4 par suite NM = sqrt ( ( 3 - x )^2 + 4 )
d. F( x ) est la distance parcourue par la fourmi sur le trajet SNM donc c'est SN + NM car on passe de S a N puis on continue de N jusqu'a atteindre M donc c'est f(x) = SN + NM = sqrt( 2.25 + x^2 ) + sqrt ( (3 - x )^2 + 4 )
2) l'approximation a 10^-1 est f(x) ~ 1.3
Donc il nous reste a chercher la valeur de x pour laquelle ce min a ete atteint :
On remplace f(x) par sa valeur donc : 1.3 = sqrt ( 2.25 + x^2 ) + sqrt ( ( 3 - x )^2 + 4 ) et alors on eleve les deux membres au carre on aura : (1.3)^2 = 2.25 + x ^2 + ( 3 - x )^2 + 4 + 2 * ( 2.25 + x ^2 ) ( (3 - x )^2 + 4 ) ET ON RESOUT on aurant une equation du second degre j'ai essayer rapidement j'ai trouve 2x^2 - 6x + ( 5- x ) sqrt ( x ^2 + 2.25 ) + 14.56 = 0 mais je ne sais pas si j' ai fais des erreures de calcul ou non essayez vous ou bien essayer de resoudre a l'aide d'une calculatrice ... informez moi de ce que vous en pensez .
A bientot
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de lolly123, postée le 09-05-2013 à 18:58:19 (S | E)
Merci beaucoup pour votre réponse.
Oui, en effet M est un point de BB', pardon de ne pas l'avoir précisé...
J'ai essayé de rédiger en tenant compte de vos recherche:
1.a. Je n'ai qu'à rajouter D=[0;3]
b. Oui en effet j'ai oublié le "²".
SN²=2.25+x²
SN=2.25+x
c. MN²=B'N²+B'M²
MN²= (A'B'-A'N)²+(BB'-BM)²
MN²= (3-x)²+(3-1)²
MN²= (3-x)²+4
MN= √((3-x)²+4)
d. f(x) est la distance parcourue par la fourmi sur le trajet SNM. Ainsi on calcule SN+MN.
f(x)=SN+MN
f(x)= √(2.25+x²)+ √((3-x)²+4)
2. Vous avez dit : " l'approximation a 10^-1 est f(x) ~ 1.3" et "(3 - x )^2 + 4 + 2 * ( 2.25 + x ^2 ) ( (3 - x )^2 + 4 ) ET ON RESOUT on aura une equation du second degré"
Je n'ai rien compris du tout... Est ce que vous pourriez m'expliquer cela avec un peu plus de détails, s'il vous plaît?
De plus, étant en 2nde, je ne sais pas résoudre les équations du second degré, je n'ai jamais fait ça... Y aurait il une autre solution?
Merci d'avance, et désolée de vous déranger.
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de abirsh, postée le 09-05-2013 à 19:47:45 (S | E)
Excusez moi! je n'avais pas bien compri la question, mais d'une deuxieme lecture j'ai compris que le minimum de f est atteint pour la valeur de x = 1.28571428571 trouvee a l'aide du logiciel et qui est egal a 9.2110294072 donc c'est le min de la fonction , son approximation est de 9.2 et la valeur de x en laquelle il est atteint est 1.28571428571 et son approximation est de 1.3 .
excusez moi j'ai mal compris avant , j'ai pense a autre chose . Donc ce qu'on demande ce sont les approximations de x et de f seulement. pourtant en utilisant la calculatrice j'ai pas eu la meme reponse pour f , mais tant pis si ce sont les donnees donc cherchez seulement les approximations.
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de wab51, postée le 09-05-2013 à 20:21:32 (S | E)
Bonsoir lolly -Bonsoir abirish .Je pense qu'il y'a une erreur de donnée dans l'énoncé :
f(1.28571428571)=4,609824273809et non pas f(1.28571428571)=
9.2110294072?Prière vérifier et corriger cette erreur ? (confirmer le résultat)
*Pour la réponse à la question 2),le calcul a été déjà fait Grâce au logiciel de calcul formel Xcas .
Il suffit simplement de déduire le résultat pour lequel le minimum de f est atteint à 10^(-1)c'est à dire la plus petite valeur atteinte par cette fonction f et la valeur de x en laquelle est atteint .Merci .
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de abirsh, postée le 09-05-2013 à 20:37:07 (S | E)
Merci Web51 , c'est la meme réponse que j'ai trouvée
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de wab51, postée le 09-05-2013 à 20:44:22 (S | E)
Effectivement ,c'est le bon résultat .Pour visualiser la réponse ,voici la courbe représentive (Cf) de f à titre supplémentaire .
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de lolly123, postée le 10-05-2013 à 17:18:52 (S | E)
Merci beaucoup pour vos réponses!
Tout d'abord, j'ai vérifié mon sujet et il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé,
c'est bien f(1.28571428571)= 9,2110294072 et le nombre 4,609824273809 n'apparaît pas dans mon sujet...
J'ai essayé de construire ma réponse avec vos conseils, ce qui donne :
2. Sur D, le minimum de f est égal à 9,2, et il est atteint pour x = 1,3. (on précise que ce sont deux valeurs approchées à 10^-1).
Je ne suis pas très sure de moi... Est ce que c'est juste?
Merci d'avance.
PS : merci wab, pour la courbe représentative (Cf) de f! (même si je ne comprends pas pour quoi "m=4,6"...)
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de abirsh, postée le 10-05-2013 à 17:31:14 (S | E)
Bonjour lolly , moi j'insiste sur ce qu'a dit wab51 . Je ne sais pas comment vous avez eu la meme reponse 9.2 .... car si on remplace x par sa valeur 1.285..... on n'obtient pas le resultat donne !!!!
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de lolly123, postée le 10-05-2013 à 18:03:01 (S | E)
Bonsoir abirsh,
moi aussi si je remplace x par cette valeur, j'obtiens 4,60.....
Mais ce n'est pas du tout le nombre marqué dans mon sujet, peut être qu'il s'agit d'une erreur?
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de wab51, postée le 10-05-2013 à 20:17:46 (S | E)
Bonsoir :Il n'y a aucun doute .Il s'agit bien d'une erreur.Tu l'as encore confirmée toi-même par le calcul.Ce n'est pas encore convainquant pour toi ? Alors et dans ses conditions ,tu n'as qu'à revenir à la définition "du minimum d'une fonction" dont je rappelle "le minimum d'une fonction f (s'il existe)est un nombre de la forme f(a)avec a appartenant à D tel quef(x)≥ f(a)pour tout x de D. Autrement dit le minimum d'une fonction est la plus petite valeur atteinte par cette fonction ,c'est encore aussi dire"c'est l'ordonnée du point le plus bas situé sur la courbe".
Admettons donc que le minimum de f est bien égal à 9,211... atteint pour x=1,28.... Cela veut dire donc d'après la définition que f(x)≥ 9,211... pour toute valeur de x de l'intervalle [0,3].Or,il suffit simplement de vérifier que pour x=0 (par exemple)on a f(0)=5,35...,donc contradiction 9,211 n'est jamais inférieur à 5,35 ,c'est absurde donc c'est faux. .Je voulais te mettre devant un raisonnement simple et facile de ton niveau pour d'abord comprendre cette anomalie donc cette contradiction .(j'ai évité d'autres méthodes qui ne font pas appel à ton niveau )
Donc ,tu as le choix entre ce qui est vrai et ce qui est faux .L'essentiel est de distingué le faux du vrai ou le vrai du faux .Merci et bien cordialement .Bon weekend .
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de lolly123, postée le 11-05-2013 à 11:12:33 (S | E)
Merci beaucoup, wab51, grâce à vos exemples j'ai vraiment compris l'erreur!
De toute façon ce devoir est à rendre pour jeudi et nous avons la possibilité de poser des questions à notre professeur lundi, donc je pense que j'amènerai cette question sur le minimum de la fonction...
En tout cas, merci beaucoup abirsh et wab51!!!
Je vous souhaite un bon week-end.
Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de wab51, postée le 11-05-2013 à 12:31:55 (S | E)
Mon bonjour à aberish et à toi:L'essentiel est que tu as très bien compris et répondu à toutes les questions.Nous sommes contents de toi .Enfin ,encore une toute petite preuve de réponse logique et évidente ":En fait du moment que ce minimum que l'on demande de déterminer traduit le plus court chemin que doit emprunter la paresseuse fourmi pour atteindre l'objet de sa convoitise serait forcément celui dont la distance est 4,6cm et non 9,2cm
.Bonne suite dans tes études et excellente réussite
et 
.Très bon weekend .Réponse: Problème - géométrie dans l'espace de lolly123, postée le 12-05-2013 à 15:35:25 (S | E)
Oh oui c'est vrai!
beaucoup pour votre aide, et bon dimanche! Cours gratuits > Forum > Forum maths
