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DM 2nde - géométrie + calculs
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Message de lolly123 posté le 27-05-2013 à 18:05:34 (S | E | F)
Bonsoir,
Je suis en 2nde et j'ai un DM de maths sur la géométrie, je trouve les calculs assez compliqués...
Voici mon sujet et mes recherches :
Sujet :
(O ;I ;J) est un repère orthonormé du plan. On considère les points A (-1 ;0), B (b ;0) où b>0.
Le demi-cercle de diamètre [AB] situé « au-dessus » de (OI) coupe la droite (OJ) en T. On s’intéresse à la longueur OT.
1. Quelle est la nature du triangle ATB ?
2. Soit T(0 ;yT), calculer AT², TB² et AB². En déduire yT en fonction de b.
3. Application : construire à la règle et au compas un segment de longueur 7.
Mes recherches :
1. On sait que [AB] est un diamètre du demi-cercle. Or, il s’agit d’un côté du triangle, donc ce triangle est inscrit dans le cercle et son hypoténuse est [AB], donc le triangle ATB est rectangle en T.
2. AT²=[√ (xT-xA)²+(yT-yA)²] ²
AT²=(xT-xA)²+(yT-yA)²
AT²=(0-(-1))²+(yT-0)²
AT²=1+yT²
TB²=[√ (xB-xT)²+(yB-yT)²] ²
TB²=(xB-xT)²+(yB-yT)²
TB²=(b-xT)²+(0-yT)²
TB²=(b²-xT²)+yT²
TB²=b²-xT²+yT²
AB²=[√ (xB-xA)²+(yB-yA)²] ²
AB²=(xB-xa)²+(yB-yA)²
AB²=(b-(-1))²+(0-0)²
AB²=(b²+1²)+0
AB²=b²+1
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AT²+BT²
(b²+1)= (1+yT²)+( b²-xT²+yT²)
AB²=AT²+BT² AB=AT+BT donc :
b+1=1+yT+b-xT+yT
b+1=1+b-xT+2yT
A partir de là je suis complètement perdue... Peut être ai-je fait des erreurs plus haut?...Pouvez vous m'aider s'il vous plaît?
Merci d'avance et bonne soirée.
Message de lolly123 posté le 27-05-2013 à 18:05:34 (S | E | F)
Bonsoir,
Je suis en 2nde et j'ai un DM de maths sur la géométrie, je trouve les calculs assez compliqués...
Voici mon sujet et mes recherches :
Sujet :
(O ;I ;J) est un repère orthonormé du plan. On considère les points A (-1 ;0), B (b ;0) où b>0.
Le demi-cercle de diamètre [AB] situé « au-dessus » de (OI) coupe la droite (OJ) en T. On s’intéresse à la longueur OT.
1. Quelle est la nature du triangle ATB ?
2. Soit T(0 ;yT), calculer AT², TB² et AB². En déduire yT en fonction de b.
3. Application : construire à la règle et au compas un segment de longueur 7.
Mes recherches :
1. On sait que [AB] est un diamètre du demi-cercle. Or, il s’agit d’un côté du triangle, donc ce triangle est inscrit dans le cercle et son hypoténuse est [AB], donc le triangle ATB est rectangle en T.
2. AT²=[√ (xT-xA)²+(yT-yA)²] ²
AT²=(xT-xA)²+(yT-yA)²
AT²=(0-(-1))²+(yT-0)²
AT²=1+yT²
TB²=[√ (xB-xT)²+(yB-yT)²] ²
TB²=(xB-xT)²+(yB-yT)²
TB²=(b-xT)²+(0-yT)²
TB²=(b²-xT²)+yT²
TB²=b²-xT²+yT²
AB²=[√ (xB-xA)²+(yB-yA)²] ²
AB²=(xB-xa)²+(yB-yA)²
AB²=(b-(-1))²+(0-0)²
AB²=(b²+1²)+0
AB²=b²+1
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AT²+BT²
(b²+1)= (1+yT²)+( b²-xT²+yT²)
AB²=AT²+BT² AB=AT+BT donc :
b+1=1+yT+b-xT+yT
b+1=1+b-xT+2yT
A partir de là je suis complètement perdue... Peut être ai-je fait des erreurs plus haut?...Pouvez vous m'aider s'il vous plaît?
Merci d'avance et bonne soirée.
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de lolly123, postée le 27-05-2013 à 18:07:58 (S | E)
*PS : pardon, pour la question 3 c'est √ 7 et non 7.
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de wab51, postée le 27-05-2013 à 19:20:20 (S | E)
Bonjour lolly :
Le triangle ATB rectangle en T
AT²=1+yT²(exact)
TB²=[√ (xB-xT)²+(yB-yT)²] ²
TB²=(xB-xT)²+(yB-yT)²
TB²=(b-xT)²+(0-yT)²
(T est le point d'intersection du demi-cercle et de l'axe des ordonnées (yy').A quoi donc est égal son abscisse xT=? )puis remplace xT par sa valeur .TB²= ?
AB²=[√ (xB-xA)²+(yB-yA)²] ²
AB²=(xB-xa )²+(yB-yA)² (Corrige c'est xA et non xa?
AB²=(b-(-1))²+(0-0)²
AB²=(b+1)²
AB²=(b²+1²)+0
Attention développement de (b+1)² est faux .Applique correctement le développement de cette identité remarquable qui est bien connue?AB²=?
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AT²+BT²
Remplace avec les valeurs exactes ?Puis déduis yT en en fonction de b?.
**Je pense que pour la construction du segment de longueur V7 ne te pose plus de problème si tu répondras à la partie algébrique1 .
Explique nous comment tu fais ? Et nous te répondrons .Bon courage et bonne continuation .
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de lolly123, postée le 27-05-2013 à 19:47:05 (S | E)
Merci beaucoup wab51 pour cette rapide réponse!
Voici ce que j'ai fait :
TB²=[√ (xB-xT)²+(yB-yT)²] ²
TB²=(xB-xT)²+(yB-yT)²
TB²=(b-xT)²+(0-yT)²
TB²=(b-0)²+(0+yT)² (xT = 0 car T est sur l'axe des ordonnées)
TB²=b²+yT²
AB²=[√ (xB-xA)²+(yB-yA)²] ²
AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)² (en effet il s'agit bien de xA et non xa, pardon pour cette erreur)
AB²=(b-(-1))²+(0-0)²
AB²=(b+1)²
(l'identité remarquable est : (a+b)²=a²+2ab+b² donc on a :
AB²= b²+ 2xbx1 + 1²
AB²= b² + 2b +1
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AT²+BT²
b² + 2b +1= 1+yT² + b²+yT²
Par suite on peut dire que AB²=AT²+BT² <=> AB=AT+BT donc :
√b² + 2b +1=√ 1+yT² + √b²+yT²
Je ne sais pas comment faire pour exprimer yT en fonction de b, je n'arrive pas à manipuler les racines carrées...
Je connais des règles d'opérations pour les racines carrées comme √a x b = √a x √b ... Mais j'ai du mal à les utiliser...
J'ai essayé et obtenu :
√b² + 2b +1=√ 1+yT² + √b²+yT²
b + √2 x √b + √1 = √1 + yT + b + yT
Et là je suis bloquée... Pouvez vous m'aider s'il vous plaît? Merci d'avance.
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de wab51, postée le 27-05-2013 à 21:29:42 (S | E)
Parfat lolly .Et voilà quelques remarques sur la suite de ta solution :
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AT²+BT²
b² + 2b +1= 1+yT² + b²+yT² (exact)
Par suite on peut dire que AB²=AT²+BT² <=> AB=AT+BT
(faux)Il s'agit d'une équation dont l'inconnue est yT :
1)Réduis le 2ème membre de cette équation :1+yT² + b²+yT²
2)Garde les termes en yT dans le 2ièmè membre et transpose tous les autres termes (les nombres) de ce 2ième membre dans le 1er membre de l'équation avec leur changement de signe .Tu aboutiras à une équation de la forme y²=b ,que tu pourras facilement déduire facilement la solution ?. Bon courage
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de lolly123, postée le 28-05-2013 à 07:48:23 (S | E)
Merci beaucoup de votre aide!
b² + 2b + 1 = 1+yT² + b²+yT²
b² + 2b + 1 = 1 + b² + 2yT²
b² + 2b +1 -1 - b² = 2yT²
b² - b² +1 -1 + 2b = 2yT²
2b = 2yT²
b = yT²
Est ce que c'est juste?
Mais je ne vois pas comment cela peut m'aider pour tracer un segment de longueur √7 ?
Est ce que vous pouvez encore m'aider s'il vous plaît? Merci.
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de wab51, postée le 28-05-2013 à 12:07:48 (S | E)
Bonjour lolly :Désolé !pour ce petit retard.Le résultat est juste .Il te reste à exprimer
en fonction de b et non pas
,en fonction de b ? Donc à quoi est égal
= ?
Pour la 2ième Q."On te demande une construction précise d'un segment de droite [OT]de longueur exacte égale (uniquement avec la règle et le compas)?
1)Tu dois d'abord penser à voir "comment déterminer trois points A , O et B sachant que AO = ... cm , OB= ... cm et AB=...cm (AB est le diamètre du demi-cercle ) .
2)Que représente la droite (OT) à trcer par rapport à la doite (AB) ? Et enfin représente le point T? D'après la 1ère Q de l'exercice ,quel est le segment ainsi construit
et de longueur exact ? Réponds donc à ses questions et envoie tes réponses .Bonne continuation
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de wab51, postée le 28-05-2013 à 12:24:26 (S | E)
*J'ai oublié de préciser que les trois points A , O et B sont alignés.Merci
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de lolly123, postée le 28-05-2013 à 12:56:30 (S | E)
Merci encore une fois pour votre réponse,
b = yT²
√b = √yT²
√b = yT
- En effet, on doit construire un segment de longueur √7 juste à la règle et au compas...
Par contre, je ne comprends pourquoi il s'agit de OT ? (vous dites : "OT = √7")
- (OT) est perpendiculaire à (AB) car ces deux droites appartiennent respectivement à l'axe des ordonnées et à l'axe des abscisses.
D'après vos questions j'en ai déduit que OT = √b (soit √7) et OB = b (soit 7cm).
Et on sait que √b = yT donc yT = √7.
Je vois comment tracer le triangle ATB rectangle en T et inscrit dans le cercle, et je pense qu'il faut utiliser le triangle rectangle OTB mais ensuite je ne comprends plus rien... Je ne vois pas du tout comment construire les points O et T... Et je ne sais pas comment trouver les longueurs AO, OB, AB... Pourriez vous m’expliquer? Merci d'avance.
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de wab51, postée le 28-05-2013 à 17:39:12 (S | E)
1)Bravo !
pour la 1ère Q de cet exercice . 2)Pour la 2ème Q." ce n'est qu'une application de la 1ère Q.Comment construire un segment de longueur exacte V7?
D'abord ,je corrige ta réponse "je vois comment tracer le triangle ATB...".
Eh,bien non!C'est faux et c'est absurde .
*Comment arrive t-on à construire le point T qui se trouve à une distance exacte de V7 du point O?
1)Pour obtenir cette valeur exacte V7 qui n'est autre que la longueur du segment que l'on cherche à réaliser avec précision il faut
d'abord commencer par tracer un segment [AB]tel que AB=b+1=7+1=8cm ensuite et d'après la 1ère Q on trace le demi cercle de diamètre AB
puis on prend un point O de ce segment [AB] tel que la distance de ce point O au point A soit égale à 1 cm donc OA=1cm .
Et enfin et pour situer exactement le point T qui se trouve à la distance V7 de O c'est à dire le segment de droite [OT] tel que :
OT=V7 ,il suffit simplement de tracer à partir de O la perpendiculaire à [AB],qui coupe le demi cercle au point T .
Réalise donc ce travail en utilisant que la règle et le compas et le résultat y est.Qu'en penses-tu ?
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de lolly123, postée le 28-05-2013 à 18:53:06 (S | E)
Ah d'accord, je suis arrivée à construire ce segment grâce à vos conseils ; en somme, une fois qu'on a [AB] qui est le diamètre du cercle et le point O, vu qu'on sait que (AB) et (OT) sont perpendiculaires, il suffit de tracer la perpendiculaire à (AB) passant par O et par un point du cercle... C'est bien ça?
Merci beaucoup de votre aide, je pensais vraiment que c'était beaucoup plus compliqué que ça!!!
Je vous souhaite une bonne soirée.
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de wab51, postée le 28-05-2013 à 19:03:15 (S | E)
Tu vois ,ce n'était aussi compliqué que tu le pensais .Tu as bien compris et tu as fait un bon travail .Féicitations -Bon courage et bonne réussite .
En récompense ,je reproduis en dessin ce que tu avais fais .Bonne journée 
et pour une prochaine fois .
Réponse: DM 2nde - géométrie + calculs de lolly123, postée le 28-05-2013 à 19:33:18 (S | E)
Oui c'est vrai!
Merci encore de votre aide, et merci aussi pour ce dessin qui récapitule très bien la situation!
Bonne soirée, et à une prochaine fois!
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