Fractions et puissances (niveau 2)

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Fractions et puissances (niveau 2)
Message de charlypop55 posté le 23-07-2013 à 16:53:34 (S | E | F)
Bonjour à toutes et à tous,

Je suis actuellement entrain de réaliser les exercices de fractions et puissances niveau 2 via la page de cours
interactifs (cours de 3ème).
L'énoncé est le suivant :

Ecrire cette expression sous la forme d'une fraction avec un numérateur entier, le plus petit possible, et le
dénominateur sous la forme d'un produit de puissances de 6 et de 2 :

{4/(6^4x2^2)}+{6/(6^3x2^5)}

J'espère avoir écris correctement l'expression. Toutefois vous pouvez trouver ce genre d'expression dans les cours
interactifs niveau 3ème.

Pourriez-vous m'indiquer quelles sont les étapes de calcul afin de parvenir au résultat demandé svp ?
Ce doit être fastidieux pour vous mais je vous avoue que je suis complètement largué !

Merci à toutes et à tous de vos réponses.

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 23-07-2013 à 17:42:55 (S | E)
Bonjour charlypop55,

selon moi on te demande d'écrire le résultat mais en gardant la forme d'une fraction, avec "en bas" des puissances de 2 et de 6 et en simplifiant cette fraction au maximum pour que "le haut" soit le plus petit possible.

Donc pour commencer, mets ton expression sur une et une seule fraction, ensuite simplifie.

Bon courage

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de wab51, postée le 24-07-2013 à 02:16:48 (S | E)
Bonsoir charlypop : *Il faut peut-etre bien voir que l'expression donnée (que l'on peut désigner par exemple par E)est d'abord la somme de deux fractions réductibles :
                1)Commence par simplifier chacune des deux fractions en une fraction irréductible ?
2)Ensuite applique la règle de la somme de deux fractions , en pensant d'abord à réduire au meme dénominateur ,en cherchant le dénominateur commun ,que tu conserveras son écriture sous forme de produit de puissance de 6 et de puissance de 2 aussi bien au numérateur qu'au dénominateur et ne pense pas du tout à développer le calcul de puissances ? Avec cette méthode ,tu obtiens l'expression E réduite et égale à une seule fraction dont le numérateur est sous la forme d'une somme de deux puissances de 2 et de 6 et le dénominateur un produit de deux puissances de 2 et de 6 .
3)Enfin ,tu constateras que cette dernière fraction réduite peut etre encore simplifiée .Il suffit donc de trouver le diviseur commun du numérateur et du dénominateur pour simplifier cette fraction et ce sera le résultat .Poste tes résultats pour vérification ou correction .Bonne continuation et bon courage .

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 24-07-2013 à 14:32:25 (S | E)
Merci pour vos réponses !
Tout d'abord je simplifie la première fraction sous une forme irréductibe, ce qui me donne (j'espère ne pas me tromper ?) :
$\frac{4}{6^{4}\times2^{2}}=\frac{2^{2}}{(2\times3)^{4}\times2^{2}}=\frac{2^{2}}{2^{4}\times3^{4}\times2^{2}}=\frac{2^{2}}{2^{6}\times3^{4}}=\frac{1}{2^{4}\times3^{4}}$
Je ne suis pas sûr du tout pour celle-ci. Pouvez-vous me dire si le résultat est correct ?
Merci

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 14:45:15 (S | E)
Rebonjour,
.. correct ? => oui et non
oui, ça représente bien la même valeur.
non, car pas exprimé avec des puissances de 2 ou 6.
... et franchement vous vous compliquez sérieusement la vie, 4/(6^4x2^2) .. or 4 = 2^2, ça se simplifie directement en 1/(6^4)
Ici pas besoin, mais de facon générale, si vous doutez de votre résultat vous pouvez aussi le vérifier à la calculatrice.
A vous la suite ...

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 24-07-2013 à 14:55:39 (S | E)
Ah oui je suis allé un peu vite, c'est vrai !
Mon problème est comment faire pour exprimer le dénominateur avec des puissances de 2 et de 6 ?

C'est là que je ne comprends pas.
Merci de vos réponses

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de angel7, postée le 24-07-2013 à 15:18:36 (S | E)
Bonjour,
on peut considérer que 1/(6^4) c'est 1/(6^4 x 2^0). on a les puissances de 6 et de 2.
le problème est résolu.
J'espère avoir aidé.

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 15:23:26 (S | E)
Le dénominateur exprimé avec des puissances de 2 et de 6, ça veut simplement dire que sous la barre de fraction on doit juste voir 2^x et/ou 6^y. Par exemple votre simplification était exprimée avec des puissances de 2 et de 3.

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 24-07-2013 à 15:37:43 (S | E)
D'accord mais je trouve aussi un dénominateur exprimé avec des puissances de 2 et de 3 pour la seconde fraction soit :
$\frac{6}{6^{3}\times2^{5}}=\frac{2\times3}{(2\times3)^{3}\times2^{5}}=\frac{1}{2^{2}\times3^{2}\times2^{5}}=\frac{1}{2^{7}\times3^{2}}$
Quelqu'un pourrait-il me donner la bonne opération (pour ne pas dire la réponse) ?
Merci

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 15:47:11 (S | E)
Rebonjour charlypop55,
te donner la réponse, tu rêves un peu là.
Même remarque que sur la partie précédente, tu te compliques la vie:
6/((6^3)x(2^5)) or 6^3 c'est 6x6x6 .. donc ça se simplifie directement.
... à toi !
(Merci de commencer à exprimer E, ça évitera d'y passer la journée.)

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 16:13:27 (S | E)
Le but de cet exercise est aussi de comprendre ce qu'est une puissance pour pouvoir les manipuler plus facilement ensuite.
Quand tu écris 1/((2^7)x(3^2)) c'est aussi 1/(2x2x2x2x2x2x2x3x3) et tout le monde sait que 2x3 = 6
Donc tu réunis tes 3 avec des 2 pour faire des 6.
Tu obtiens 1/(((3x2)x(3x2))x(2x2x2x2x2)) et tu réécris avec tes puissances, ça fait donc 1/((6^2)x(2^5))

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 24-07-2013 à 17:44:57 (S | E)
Ça y est je suis dans le néant ! Quand je pensais avoir compris j'ai tenté de reprendre le cours
interactif (qui me donne une nouvelle expression évidemment) mais là "plantage" ! Je ne comprends pas
même en voyant le résultat. Je vous note l'énoncé puis le résultat :
Ecrire cette expression sous la forme d'une fraction avec un numérateur entier, le plus petit possible,
et le dénominateur sous la forme d'un produit de puissances de 4 et de 5 :
$E = \frac{4}{4^{5}\times5^{3}}+\frac{6}{4^{3}\times5^{5}}$
Réponse :
$E = \frac{196}{4^{5}\times5^{5}}$
Détail des calculs au numérateur : 4 x 25 + 6 x 16 = 196
Merci de m'éclairer

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 18:04:19 (S | E)
avant de regarder d'autres exercises, essayes donc de finir le premier.
... tu en es où avec E = {4/(6^4x2^2)}+{6/(6^3x2^5)} ?

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 18:15:41 (S | E)
De plus la réponse de ton second exercise est fausse,
la valeur reste correcte mais la fraction n'est pas simplifiée au maximum.
Facile de voir que tout reste encore simplifiable par 4 !!!
Au final ça donne 49/(4^4x5^5)

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 24-07-2013 à 18:21:11 (S | E)
Concrètement, voilà où j'en suis :
$E = \frac{4}{6^{4}\times2^{2}}+\frac{6}{6^{3}\times2^{5}}$
$E = \frac{1}{6^{4}}+\frac{1}{6^{2}\times2^{5}}$
Le résultat ne respecte pas l'énoncé. J'ai exprimé les fractions sous leur
forme irréductible comme conseillé mais je n'arrive pas à comprendre la
suite.

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 18:50:39 (S | E)
Non, ceci ne correspond pas du tout à mes conseils, wab51 vous a conseillé de simplifier dès le départ chaques fractions, ça peut éviter de gros calculs par la suite, mais cela n'est en rien obligatoire, relisez bien les conseils.
23/7 17h42 "Donc pour commencer, mets ton expression sur une et une seule fraction, ensuite simplifies."

(Sinon pour faire simple le plus gros du travail est de mettre l'addition de ces deux fractions sur une seule.
Le reste c'est de la simplification de fraction, la plus importante étant après avoir obtenu une seule fraction.
Là vous en êtes à peine à l'étape facultative de simplification. Mais pas d'inquiétudes, quand vous aurez compris le principe, la résolution complète ne prendra pas plus de quelques minutes.)

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 24-07-2013 à 19:21:08 (S | E)
Alors ça donne quoi cette fraction ?

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de wab51, postée le 25-07-2013 à 03:09:08 (S | E)
Bonsoir :
Concrètement, voilà où j'en suis :
$E = \frac{4}{6^{4}\times2^{2}}+\frac{6}{6^{3}\times2^{5}}$
$E = \frac{1}{6^{4}}+\frac{1}{6^{2}\times2^{5}}$

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 25-07-2013 à 09:57:42 (S | E)
ENFIN J'AI COMPRIS !!! Pourtant ce n'était pas si compliqué je me suis pris la tête pour pas grand
chose j'ai l'impression. Les étapes de calcul :
$E = \frac{4}{6^{4}\times2^{2}}+\frac{6}{6^{3}\times2^{5}}$
$E = \frac{1}{6^{4}}+\frac{1}{6^{2}\times2^{5}}$
Je calcule le PGCD des deux dénominateurs :
$6^{4} = 1296$     et    $6^{2}\times2^{5} = 1152$
1296 / 1152 = 1 + 144
1152 / 144 = 8 + 0
PGCD = 144
Je calcule ensuite le PPCM :
(1296*1152) / 144 = 10368
Je multiplie la première fraction par 8 (soit $2^{3}$ ) et la seconde par 9 (soit $3^{2}$ ), j'obtiens :
$E = \frac{8}{6^{4}\times2^{3}}+\frac{9}{6^{2}\times2^{5}\times3^{2}}$
$E = \frac{8}{6^{4}\times2^{3}}+\frac{9}{6^{4}\times2^{3}}$
$E = \frac{17}{6^{4}\times2^{3}}$
J'obtiens le résultat demandé dans l'énoncé. C'est bon n'est-ce pas ?
Par contre j'ai vu que wab51 obtenait :
$E = \frac{17}{6^{4}\times2^{5}}$
Une erreur de frappe ou encore une des miennes ?! En tout cas merci à tous de votre
patience et de votre aide !

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de seb2501, postée le 25-07-2013 à 10:49:15 (S | E)
Bravo ! (Certainement une erreur de simplification ou une faute de frappe de wab51, ça arrive à tout le monde.)
D'ailleurs ton aventure confirme encore une fois que la nuit porte conseil. ^^

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 25-07-2013 à 12:04:32 (S | E)
Entièrement d'accord ! Et encore une fois merci à tous !!!

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de wab51, postée le 26-07-2013 à 04:17:23 (S | E)
Bonjour charlypop :Excellent travail .Tu as été excellent .En plus de la méthode qu'on t'a proposée ,tu as été encore plus brillant par trouver un autre moyen plus astucieux en utilisant une nouvelle propriété "relation entre P.G.C.D (1296,1152) et le P.P.C.M.(1296;1152) .Vraiment très content de toi et acceptez toutes mes félicitations . (Ah,oui!vraiment désolé !Effectivement c'était une erreur de frappe de ma part au lieu de taper 2 $^{3}$ j'avais écris 2 $^{5}$ et merci pour la correction) .Mon salut à seb avec mes remerciements les plus profonds .Encore Bravo !Toujours bienvenue au site .Excellent weedkend . et  .

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de wab51, postée le 27-07-2013 à 22:35:55 (S | E)
*Réponse au 2ème exercice " .En principe ,tu devrais ouvrir un nouveau dossier pour ce nouveau sujet .
Bonsoir charlypop : Ta réponse à ce 2ème exercice est juste mais non encore achevée .( $E = \frac{196}{4^{5}\times5^{5}}$ ) .parce que le numérateur 196 n'est pas encore le plus petit entier .Et par conséquent tu peux encore simplifier cette fraction en une fraction irréductible en cherchant le P.G.C.D.(196 ; 4 $^{5}$ x5 $^{5}$ )? Et tu aras directement le résultat définitif Remarque importante : *Je ne sais si tu as étudié "décomposition d'un entier en un produits de facteurs premiers ".Cette méthode est encore beaucoup plus souple ,et elle te permettra sans faire de calcul ,de déterminer plus facilement et sans caculatrice le P.G.C.D et le P.P.C.M. de deux entiers décomposés en facteurs premiers .
Tu peux toujours envoyer ta réponse pour vérification et confirmation .Bon courage .

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de charlypop55, postée le 28-07-2013 à 11:06:15 (S | E)
Bonjour wab51 !
En ce qui concerne la réponse au 2ème exercice j'ai pu réduire l'expression de cette manière :
$E = \frac {196} {4^{5}\times5^{5}}$
Je décompose les entiers en produits de facteurs premiers, soit :
$E = \frac {2^{2}\times7^{2}}{(2^{2})^{5}\times5^{5}}$
$E = \frac {49}{4^{4}\times5^{5}}$
La fraction est réduite à son maximum désormais. En revanche la méthode qui consiste à décomposer un entier
en un produit de facteurs premiers est-elle respectée dans ma démonstration ?
Merci

Réponse: Fractions et puissances (niveau 2) de wab51, postée le 28-07-2013 à 21:50:24 (S | E)
Bonjour charlypop :Parfait .Félicitations . .excellent weekend .A une prochaine fois .

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