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Nombre et diviseur commun
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Message de raninou posté le 11-10-2013 à 09:43:40 (S | E | F)
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour cet exercice, merci :
a et b deux entiers naturels ont 7 comme diviseur commun.
leur produit est égal à 3185
quels sont ces deux nombres. Donner toutes les solutions possibles
ma réponse est
3185=5*7*7*13
a=x*7
b=y*7
si a= 5*7=35 alors b=13*7=91
si a= 13*7=91 alors b=5*7=35
si a= 5*7*13=455 alors b=7
si a= 7 alors b=5*7*13=455
Est ce qu'il y a d'autre nombres
Merci
Message de raninou posté le 11-10-2013 à 09:43:40 (S | E | F)
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour cet exercice, merci :
a et b deux entiers naturels ont 7 comme diviseur commun.
leur produit est égal à 3185
quels sont ces deux nombres. Donner toutes les solutions possibles
ma réponse est
3185=5*7*7*13
a=x*7
b=y*7
si a= 5*7=35 alors b=13*7=91
si a= 13*7=91 alors b=5*7=35
si a= 5*7*13=455 alors b=7
si a= 7 alors b=5*7*13=455
Est ce qu'il y a d'autre nombres
Merci
Réponse: Nombre et diviseur commun de tiruxa, postée le 11-10-2013 à 10:32:23 (S | E)
Bonjour,
Non c'est bien ça.
On a xy = 5*13
Donc x est un diviseur de 5*13 or il n'y en a que 4, qui correspondent à vos solutions.
Pour trouver le nombre de diviseurs d'une décomposition en facteurs premiers, il faut faire le produit des exposants après leur avoir ajouté 1.
Ici les exposants sont 1 et 1, on leur ajoute 1, on obtient 2 et 2 donc leur produit est 4
Réponse: Nombre et diviseur commun de raninou, postée le 11-10-2013 à 12:33:20 (S | E)
Je n'ai pas vraiment compris votre raisonnement
pourriez vous être plus explicite
Réponse: Nombre et diviseur commun de wab51, postée le 11-10-2013 à 13:00:43 (S | E)
Bonjour tiruxa ,bonjour raninou
Il me semble bien qu'il a été oublié de dire que le nombre 7 n'est seulement un diviseur commun des deux entiers naturels a et b mais le plus grand diviseur commun de a et de b :P.G.C.D (a,b)=7 .Pour trouver toutes les solutions ,il suffit de traduire les données :
a=7*a' que b=7*b' et a*b=7*a'*7*b'=49*a'*b' avec a' et b' premiers entre eux c'est à dire P.G.C.D (a',b')=1 et que a*b=3185=49*a'*b' d'où a'*b'=65 .
1)Il suffit donc de trouver les couples entiers naturels (a',b')qui sont solutions de l'équation a'*b'=65 (a'et b' premiers entre eux)?.
2)puis de déduire tous les couples naturels (a,b)solutions a*b=3185?
Conseil :Mieux dresser un tableau dans la 1ère colonne sera portée a',b',a et b .Sur les quatre lignes porter leurs valeurs respectives de a',de b' ,de a et de b .? Bon courage .
Réponse: Nombre et diviseur commun de tiruxa, postée le 12-10-2013 à 10:00:03 (S | E)
Bonjour,
Pour approfondir le dénombrement des diviseurs d'un nombre à partir de sa décomposition en facteurs premiers je vous propose ce lien :
Lien internet
Le principe découle de la propriété suivante :
a divise b si seulement si la décomposition en facteurs premiers de a est contenue dans celle de b.
Donc pour 5*13
On peut avoir 5^0 * 13^0, 5^0 * 13^1, 5^1 * 13^0 et 5^1 * 13^1
c'est à dire : 1, 13, 5 et 65
On a donc 2 possibilités pour l'exposant de 5 et deux aussi pour celui de 13, donc 2*2 = 4 diviseurs possibles.
Sur un exemple plus compliqué : 200 = 2^3 * 5^2
On a 4 choix possibles pour l'exposant de 2 : 0,1,2 ou 3
et 3 choix possibles pour celui de 5 : 0,1 ou 2
Il y a 4*3 soit 12 diviseurs.
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