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Exercices de logique
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Message de lahcen2012 posté le 13-10-2013 à 12:36:06 (S | E | F)
Bonjour, Pourriez-vous m'expliquer ou me donner des indices dans ces deux exercices et merci !
Exercice1:
Démontrer que l'équation (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30 N'a pas de solution dans Z.
Exercice2:
Soit a et b des nombres qui appartiennent à N tel que a est grand que b.
Démontrer que a^2+b^2/a^2-b^2 n'appartient pas N.
Message de lahcen2012 posté le 13-10-2013 à 12:36:06 (S | E | F)
Bonjour, Pourriez-vous m'expliquer ou me donner des indices dans ces deux exercices et merci !
Exercice1:
Démontrer que l'équation (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30 N'a pas de solution dans Z.
Exercice2:
Soit a et b des nombres qui appartiennent à N tel que a est grand que b.
Démontrer que a^2+b^2/a^2-b^2 n'appartient pas N.
Réponse: Exercices de logique de tiruxa, postée le 13-10-2013 à 15:06:57 (S | E)
Bonjour,
Pour le 1 factoriser et voir que x-y, y-z et x-z divisent 30 dans Z... ce qui réduit beaucoup le nombre de cas possibles
Réponse: Exercices de logique de tiruxa, postée le 13-10-2013 à 15:09:01 (S | E)
Pour le 2 raisonner par l'absurde, appeler k le quotient en question et exprimer a²/b² en fonction de k.
Bon courage
Réponse: Exercices de logique de lahcen2012, postée le 13-10-2013 à 17:29:38 (S | E)
Bonsoir; Voici pour le premier exercice:
(x-y+y-z)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2)+(z-x)^3=30
C'est à dire -(z-x)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2) +(z-x)^3=30
c'est à dire (z-x)(-(x-y)^2+(x-y)(y-z)-(y-z)^2+(z-x)^2)=30
Après je ferai quoi ?
Et pour le deuxième exercice: a^2+b^2=k(a^2-b^2) donc a^2+b^2-ka^2+b^2k=0
Et alors je ferai quoi ?
Merci tout d'abord pour vos aides
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Modifié par lahcen2012 le 13-10-2013 17:37
Réponse: Exercices de logique de lahcen2012, postée le 13-10-2013 à 18:44:40 (S | E)
Je vais quoi faire après tout ça ?
Réponse: Exercices de logique de tiruxa, postée le 13-10-2013 à 23:28:13 (S | E)
Bonsoir,
Dans le premier exercice, (z-x)(-(x-y)^2+(x-y)(y-z)-(y-z)^2+(z-x)^2)=30
signifie que (z-x) (ou x-z) divise 30
De la même façon on pourrait mettre en facteur commun (x-y) ou encore (y-z)
Ensuite :faire une liste des diviseurs de 30.
Supposons que x > y > z (les autres ordres se résolvent de la même façon)
x-y, y-z et x-z sont positifs et diviseurs de 30 de plus le dernier de ces nombres est la somme des deux autres.
On a par exemple 5, 10 et 15 mais il y en a quelques autres... les trouver
On peut voir que 5 , 10 , 15 ne convient pas 5^3 + 10^3 -15^3 différent de 30 (remarque c'est -15 car on a z-x)
Voilà aucun des cas ne donne 30... je vous laisse en faire la liste.
Réponse: Exercices de logique de tiruxa, postée le 13-10-2013 à 23:31:30 (S | E)
Pour le 2 mettre les a dans un membre et les b dans l'autre, factoriser puis isoler a²/b² dans un membre
Réponse: Exercices de logique de lahcen2012, postée le 14-10-2013 à 17:21:40 (S | E)
Bonsoir;
Pour le deuxième exercice comment je factorise et comment je fais isoler a^2/b^2 ?
a^2+b^2=ka^2-kb^2
Pour le premier exercice quand j'ai factoriser avec x-y j'ai trouvé:
(z-x)( (x-y)(-x+2y-z)-(y-z)^2+(z-x)^2 )=30
après je ferai quoi
Les diviseurs de 30 sont: 30;1;15;5;3;10;-30;-1;-15;-5;-3;-10
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Modifié par lahcen2012 le 14-10-2013 17:26
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Modifié par lahcen2012 le 14-10-2013 17:29
Réponse: Exercices de logique de tiruxa, postée le 14-10-2013 à 21:30:34 (S | E)
Pour l'exercice n°2, j'avais dit de regrouper les a d'un côté et les b de l'autre.
Pour le 1,vous avez mal interprété ce que j'ai dit,il ne faut pas mettre en facteur x-y dans votre calcul mais repartir du début pour cette fois mettre x-y en facteur... mais ce n'est pas la peine de le faire vraiment il suffit de dire que de même on mettrait x-y en facteur ou z-x en facteur.
Par la suite il serait peut être bon d'utiliser un tableur pour ne pas oublier de cas....
Si on pose x-y = a et y - z = b alors x-z = a+b
alors a , b et a+b sont des diviseurs de 30
On peut dénombrer les cas possibles dans un tableau,comme a et b jouent le même rôle dans le calcul, il n'y a pas lieu de distinguer (a,b) et (b,a)
On a les paires {a,b} suivantes :
{1,2} car 1+2 =3 diviseur de 30
{-1,3} car -1+3 = 2
etc...
il y a aussi
{1,5}
{2,3}
{5,10}
le tout est de ne pas en oublier, pour moi si on continue dans cette voie il vaut mieux utiliser un tableur (personnellement je trouve 24 paires possibles qui ne conviennent pas car a^3+b^3+(-a-b)^3 n'est pas égal à 30.
Réponse: Exercices de logique de lahcen2012, postée le 14-10-2013 à 21:59:04 (S | E)
Bonsoir;
Pour le 1: J'ai trouvé que a^2/b^2=k+1/k-1 alors je ferai quoi ?
Et merci beaucoup tiruxa Pour vos aides!
Réponse: Exercices de logique de tiruxa, postée le 15-10-2013 à 10:55:55 (S | E)
Bonjour,
C'est cela en effet.
D'abord, au départ, on peut voir si a et b ne sont pas premiers entre eux, on appelle d leur pgcd
On a a=a'*d et b= b'*d, avec a' et b' premiers entre eux
Donc (a²+b²)/(a²-b²) est simplifiable par d², elle est égale à (a'²+b'²)/(a'²-b'²) qui est donc égale à k dans l'hypothèse du raisonnement.
On a donc en fait (a'²)/(b'²) = (k+1)/(k-1), comme vous l'avez trouvé
Mais là on sait que (a'2)/(b'²) est irréductible puisque a' et b' sont premiers entre eux.
Dans l'autre membre, tout diviseur commun à k-1 et k+1 divise aussi leur différence c'est à dire 2, donc ce diviseur est :
*soit 1 (et ils sont premiers entre eux), dans ce cas les deux fractions égales et irréductibles ont même numérateur et même dénominateur : a'² = k + 1 et b'² = k - 1 donc a'² - b'² = 2 ce qui est impossible car la différence entre deux carrés est au minimum 3.
*soit 2 et alors k est impair, k = 2p + 1, alors (k+1)/(k-1) = (2p+2)/(2p) = (p+1) / p
Cette dernière fraction est irréductible...... on termine alors comme dans le cas précédent
On en déduit que l'hypothèse de départ est fausse....
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