Second degé 1ère S

Second degé 1ère S
Message de bibor215 posté le 09-11-2013 à 16:00:57 (S | E | F)
Bonjour,
je suis en présence d'un exercice du second degré de première S sur lequel je bute:
je serais reconnaissant d'obtenir un peu d'aide, je remercie par avance.
voici l'exercice :
soit a, b et c trois réels vérifiant a ≥ b ≥ c
1) démontrer : a²-b²+c² ≥ (a-b+c)²
2) dans quel cas a-t-on : a²-b²+c² = (a-b+c)²
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Modifié par bridg le 09-11-2013 17:08

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Réponse: Second degé 1ère S de jonew09, postée le 09-11-2013 à 18:02:30 (S | E)
Salut,

Et tu ne proposes rien comme résolution finie ou non?
Pour débuter, développe le membre de droite

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Réponse: Second degé 1ère S de bibor215, postée le 09-11-2013 à 22:39:37 (S | E)
bonsoir et merci jonew09, en fait, j'ai bien développé le terme au carré mais je n'en vois pas d'aboutissement
(a-b+c)² = (a-b+c)(a-b+c)
= a²-ab+ac-ab+b²-bc+ac-bc+c²
= a²+b²+c²+2ac-2ab-2bc
j'ai remplacé le terme au carré par son développé dans l'inégalité:
a²-b²+c² ≥ (a-b+c)²
a²-b²+c² ≥ a²+b²+c²+2ac-2ab-2bc
a²-a²-b²-b²+c²-c² ≥ 2ac-2ab-2bc
-2b² ≥ 2(ac-ab-bc)
-b² ≥ ac-ab-bc
b² ≤ ab+bc-ac
mais je ne vois pas quelle suite donner

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Réponse: Second degé 1ère S de logon, postée le 10-11-2013 à 08:26:08 (S | E)
Bonjour Bibor,

Bonjour Jonew (je me permets de suggérer une étape supplémentaire au delà de ce qui a été fait suivant votre avis....OK?)

Bibor vous avez déroulé ce développement impeccablement. Pas une erreur de signe..
BRAVO.
Vous êtes à deux doigts du résultat: faites passer le terme en bc du membre de droite dans le membre de gauche.


Voilà je ne pense pas vous avoir donné la solution du problème ( que vous avez bien avancé) à votre place, ce qui n'est pas le rôle du correcteur?

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Réponse: Second degé 1ère S de bibor215, postée le 10-11-2013 à 10:01:41 (S | E)
Bonjour jonew09 et logon.
mais oui, j'aurais du y penser, cela saute aux yeux! merci logon.
a²-b²+c² ≥ (a-b+c)²
a²-b²+c² ≥ a²+b²+c²+2ac-2ab-2bc
a²-a²-b²-b²+c²-c² ≥ 2ac-2ab-2bc
-2b² ≥ 2(ac-ab-bc)
-b² ≥ ac-ab-bc
b² ≤ ab+bc-ac
b²-bc ≤ ab-ac
b(b-c) ≤ a(b-c)
d'ou par simplification b ≤ a

et par déduction la réponse à la question 2):
a²-b²+c² = (a-b+c)² lorsque a=b

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Réponse: Second degé 1ère S de milarepa, postée le 10-11-2013 à 11:53:27 (S | E)
Bonjour à tous,

Bibor, bravo, c'est ça, mais il faut que tu justifies le droit de simplifier par (b-c).
En effet, pour une inéquation, on n'a pas les mêmes "droits" que pour une équation, et tu as zappé ce "détail" qui est en fait un point crucial !

Belle journée.

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Réponse: Second degé 1ère S de bibor215, postée le 11-11-2013 à 00:13:13 (S | E)
bonjour milarepa, bien sur, oui, je suis passé à coté de ce point important.
voici la correction:
a²-b²+c² ≥ (a-b+c)²
a²-b²+c² ≥ a²+b²+c²+2ac-2ab-2bc
a²-a²-b²-b²+c²-c² ≥ 2ac-2ab-2bc
-2b² ≥ 2(ac-ab-bc)
-b² ≥ ac-ab-bc
b² ≤ ab+bc-ac
b²-bc ≤ ab-ac
b(b-c) ≤ a(b-c)
on va simplifier par (b-c)
en tenant compte de l'énoncé de départ qui précise que b ≥ c, on en déduit que le signe de (b-c) est ≥ 0 donc le signe de l'inégalité ne change pas.
d'ou par simplification b ≤ a

et par déduction la réponse à la question 2):
a²-b²+c² = (a-b+c)² lorsque a=b

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Réponse: Second degé 1ère S de jonew09, postée le 11-11-2013 à 00:40:54 (S | E)
Bon bah rien à ajouter, c'est très bien .

Bonne continuation man!

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Réponse: Second degé 1ère S de milarepa, postée le 11-11-2013 à 01:16:51 (S | E)
Bibor,

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Réponse: Second degé 1ère S de bibor215, postée le 11-11-2013 à 20:39:55 (S | E)
merci à tous, à bientôt.
bibor

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