DM fonction exponentielle

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DM fonction exponentielle
Message de mapa95 posté le 10-11-2013 à 11:09:51 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un DM de mathématiques et j'ai quelques petits problèmes pour le premier exercice.
Voici les questions :

1) L'équation e $^{2x}$ +e $^{x}$ +3 =0 admet
a) aucune solution     b) une solution     c) deux solutions     d) une infinie de solutions

2) La fonctiong est définie sur IR par g(x) = $\frac{1}{e^{x}+2}$ . Alors g'(x) =
a) $\frac{1}{e^{x}}$    b) $\frac{-e^{x}}{e^{x}+2}$     c) $\frac{-e^{x}}{\left(e^{x} \right)^{2}+4}$           d) $\frac{-e^{x}}{e^{2x}+4e^{x}+4}$

3) La fonction f est définie sur IR* par f(x) = $\frac{1}{x}e^{-3x^{2}}$ . Alors f'(x) =
a) $-e^{-3x^{2}} \times \frac{6x^{2}+1}{x^{2}}$           b) $6e^{-3x^{2}}$           c) $-\frac{1}{x}e^{-3x^{2}}$           d) $\frac{6}{x}e^{-3x^{2}}$

Voilà donc les questions !!!
Voici mes réponses :

1) On pose un changement de variables : $e^{2}$ =t. On obtient donc une équation du second degré $t^{2}+t+3=0$ . On calcul Delta est on obtient -11. L'équation n'a donc pas de solution.
Là je suis bloqué car je dois reposer le changement de variable mais je ne sais pas comment faire ?

2) On applique la formule $\frac{u'v-v'u}{v^{2}}$ , le problème, c'est que je ne sais pas dériver une fonction exponentielle, je ne connais pas de formule !

3) Même problème, je ne sais pas dériver une fonction exponentielle.

Je vous remercie par avance pour votre aide :-)

Réponse: DM fonction exponentielle de milarepa, postée le 10-11-2013 à 11:56:45 (S | E)
Bonjour Mapa,

Q1 : Je suppose que tu as voulu écrire e^x = t.
Méthodologiquement, il n'y a rien de plus à faire que ce à quoi tu as abouti, sinon conclure.
Si l'équation t²+t+3=0, n'a pas de solution, alors cela signifie qu'il n'existe aucune valeur de t qui la satisfasse, donc qu'il n'existe aucune valeur de e^x qui la satisfasse, donc aucune valeur de x.

Q2 : Tu es bien parti. On trouve facilement sur l'Internet les formules des dérivées des fonctions particulières, par exemple ici : Lien internet
Ou encore ici : Lien internet

Q3 : Idem.

À toi de jouer.

Réponse: DM fonction exponentielle de mapa95, postée le 11-11-2013 à 10:15:54 (S | E)
Merci beaucoup, je comprends mieux !
Donc la fonction exponentielle reste la même quand on veut la dériver ?!!
Donc si je dérive $e^{x}+2$ c'est égal à $e^{x}$ ?

Réponse: DM fonction exponentielle de mapa95, postée le 11-11-2013 à 10:51:29 (S | E)
J'ai dérivé la fonction g, cela donne donc :
$\frac{1}{e^{x}+2} = \frac{0\times (e^{x}+2)-e^{x}\times 1}{(e^{x}+2)^{2}} = \frac{-e^{x}}{(e^{x})^{2}+4e^{x}+4}$
Donc réponse d) ! Est-ce bien cela ?

Réponse: DM fonction exponentielle de milarepa, postée le 11-11-2013 à 11:01:34 (S | E)
Comme tu l'as lu (je l'espère) sur les liens que je t'ai postés :
• la dérivée de e^x est e^x
• mais, attention, la dérivée de e^f(x) est f'(x)e^f(x).
Donc, oui, la dérivée de e^x+2 est e^x.

Q1 : Attention : Tu ne peux pas écrire le premier signe = !!!
Tu pourrais écrire [1/(e^x+2)]' = ...
En effet, c'est la dérivée qui est égale à la suite que tu écris, pas la fonction.
Ton calcul de la dérivée est juste
Mais quelle est la réponse, puisque c'est un QCM : a, b, c ou d ?
Sais-tu à quoi est égal (e^x)² ?
Il te reste donc à conclure.

Réponse: DM fonction exponentielle de mapa95, postée le 11-11-2013 à 11:32:05 (S | E)
Ah oui je n'ai pas fini...
$(e^{x})^{2} = e^{2x}$
$g'(x) = \frac{-e^{x}}{e^{2x}+4e^{x}+4}$
Donc la réponse est d)
Merci pour tout , tu m'as beaucoup aidé !!!

Réponse: DM fonction exponentielle de milarepa, postée le 11-11-2013 à 13:13:49 (S | E)
Avec plaisir
Si tu veux, poste ta réponse à la question 3 pour validation (la Q2 est OK).
Bon après-midi.

Réponse: DM fonction exponentielle de mapa95, postée le 11-11-2013 à 15:33:41 (S | E)
Pour la question 3, j'ai trouvé :
$f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}\times e^{-3x^{2}} - 6xe^{-3x^{2}}\times \frac{1}{x}$
$f'(x) = -e^{-3x^{2}}\times (\frac{1}{x^{2}} + \frac{6x}{x})$
$f'(x) = -e^{-3x^{2}}\times (\frac{1}{x^{2}} + \frac{6x^{2}}{x^{2}})$
$f'(x) = -e^{-3x^{2}}\times \frac{6x^{2}+1}{x^{2}}$
C'est donc la réponse a)
Encore merci pour ton aide

Réponse: DM fonction exponentielle de milarepa, postée le 11-11-2013 à 16:31:51 (S | E)
Oui, c'est la réponse a), mais je me demande à partir de quel formule tu obtiens ta première ligne de calcul.
En effet, en employant la formule (u'v-uv')/v², on n'a que deux lignes de calcul en tout :
f'(x) = (-6x²e^-3x² - e^-3x²) / x²
f'(x) = -e^-3x²(6x²+1) / x²
NB : Il vaut mieux appliquer (u'v-uv')/v² telle quelle.
Bonne semaine à toi.

Réponse: DM fonction exponentielle de mapa95, postée le 11-11-2013 à 16:40:21 (S | E)
La formule est de la forme u*v avec :
u = 1/x
v= $e^{-3x^{2}}$
Donc pour calculer la dérivée j'ai utilisé la formule u'v+v'u...
Merci et bonne semaine également ;)

Réponse: DM fonction exponentielle de diand075, postée le 11-11-2013 à 19:28:27 (S | E)
〖(e〗^(u(x)))'=u'e^u(x)

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