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Message de kaleid posté le 06-09-2015 à 15:34:40 (S | E | F)
Bonjour!
Je voudrais que quelqu'un puisse m'aider avec une partie de mon devoir maison s'il vous plaît. Je remercie d'avance ceux ou celles qui m'aideront!
Voici l'énonce:
f est la fonction définie sur [0,1] par f(x)=x². On note a l'aire du domaine D situé entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=1. On se propose de déterminer une valeur approchée de a.
1. Avec 5 intervalles
On subdivise l'intervalle [0,1] en cinq intervalles de même longueur et on construit les figures suivantes:
a)Calculer la somme des aires des rectangles contenus dans D (figure 1).
b)Calculer la somme des aires des rectangles qui contiennent D (figure 2).
c)En déduire un encadrement de a.
2. Avec n subdivisions
On subdivise l'intervalle [0,1] en n intervalles (n ∈ N , n≥2) de même longueur 1/n. On construit comme ci-dessus n rectangles qui sont contenus dans D et n rectangles qui contiennent D.
a)Démontrer que la somme des aires des rectangles contenus dans D est donnée par:
An=1²+2²+3²+...+(n-1)² / n^3
et que la somme des aires des rectangles qui contiennent D est donnée par:
Bn= An=1²+2²+3²+...+n² / n^3
b)Un logiciel de calcul formel affiche:
1.Cn:=somme(k²,k,1,n) 2.(n+1)^3 -3.(n+1)²+n+1/6
2.factoriseer(Cn) ((n+1).(2.n+1)).n /6
En déduire que:
Bn=((n+1)(2n+1))/6n² et An=((n-1)(2n-1))/6n²
c)Déterminer le rang n à partir duquel Bn-An≤10^-6
d)En déduire un encadremement de a d'amplitude inférieur à 10^-6.
Bon alors, pour les question 1.a), 1.b) et 1.c), c'est bon je les ai faites. Le problème vient après...
2.a)Les rectangles contenus dans D ont pour largeur 1/n et pour longueur f(1/n). Or f(x)=x², donc An=(1/n)*(1/n)²=1/n^3. Le problème c'est que je n'arrive pas à obtenir le (n-1)².
Les rectangles contenus dans D ont pour largeur 1/n et pour longueur f(1/n). Or f(x)=x², donc Bn=(1/n)*(1/n)²=1/n^3. Ici je sais pas comment avoir le n².
b) Bn=[2.(n+1)^3 -3.(n+1)²+n+1]/6=[2(n^3+3n²+3n+1)-3(n²+2n+1)+n+1]/6=(2n^3+3n²+n)/6=(2n²+3n+1)/6n²=[(2n+1)(n+1)]/6n²
Et pour An je n'arrive pas à trouvé (n-1)(2n-1), soit 2n²-3n+1.
c)Bn-An≤10^-6
[[(n+1)(2n+1)]-[(n-1)(2n-1)]]/6n²≤10^-6
(2n²+3n+1-2n²+3n-1)/6n²≤10^-6
1/n≤10^-6
n≥10^6
d)Je ne comprends pas le sens de la question.
Message de kaleid posté le 06-09-2015 à 15:34:40 (S | E | F)
Bonjour!
Je voudrais que quelqu'un puisse m'aider avec une partie de mon devoir maison s'il vous plaît. Je remercie d'avance ceux ou celles qui m'aideront!
Voici l'énonce:
f est la fonction définie sur [0,1] par f(x)=x². On note a l'aire du domaine D situé entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=1. On se propose de déterminer une valeur approchée de a.
1. Avec 5 intervalles
On subdivise l'intervalle [0,1] en cinq intervalles de même longueur et on construit les figures suivantes:
a)Calculer la somme des aires des rectangles contenus dans D (figure 1).
b)Calculer la somme des aires des rectangles qui contiennent D (figure 2).
c)En déduire un encadrement de a.
2. Avec n subdivisions
On subdivise l'intervalle [0,1] en n intervalles (n ∈ N , n≥2) de même longueur 1/n. On construit comme ci-dessus n rectangles qui sont contenus dans D et n rectangles qui contiennent D.
a)Démontrer que la somme des aires des rectangles contenus dans D est donnée par:
An=1²+2²+3²+...+(n-1)² / n^3
et que la somme des aires des rectangles qui contiennent D est donnée par:
Bn= An=1²+2²+3²+...+n² / n^3
b)Un logiciel de calcul formel affiche:
1.Cn:=somme(k²,k,1,n) 2.(n+1)^3 -3.(n+1)²+n+1/6
2.factoriseer(Cn) ((n+1).(2.n+1)).n /6
En déduire que:
Bn=((n+1)(2n+1))/6n² et An=((n-1)(2n-1))/6n²
c)Déterminer le rang n à partir duquel Bn-An≤10^-6
d)En déduire un encadremement de a d'amplitude inférieur à 10^-6.
Bon alors, pour les question 1.a), 1.b) et 1.c), c'est bon je les ai faites. Le problème vient après...
2.a)Les rectangles contenus dans D ont pour largeur 1/n et pour longueur f(1/n). Or f(x)=x², donc An=(1/n)*(1/n)²=1/n^3. Le problème c'est que je n'arrive pas à obtenir le (n-1)².
Les rectangles contenus dans D ont pour largeur 1/n et pour longueur f(1/n). Or f(x)=x², donc Bn=(1/n)*(1/n)²=1/n^3. Ici je sais pas comment avoir le n².
b) Bn=[2.(n+1)^3 -3.(n+1)²+n+1]/6=[2(n^3+3n²+3n+1)-3(n²+2n+1)+n+1]/6=(2n^3+3n²+n)/6=(2n²+3n+1)/6n²=[(2n+1)(n+1)]/6n²
Et pour An je n'arrive pas à trouvé (n-1)(2n-1), soit 2n²-3n+1.
c)Bn-An≤10^-6
[[(n+1)(2n+1)]-[(n-1)(2n-1)]]/6n²≤10^-6
(2n²+3n+1-2n²+3n-1)/6n²≤10^-6
1/n≤10^-6
n≥10^6
d)Je ne comprends pas le sens de la question.
Réponse: Suites de nick94, postée le 06-09-2015 à 22:49:03 (S | E)
Bonjour
Tu écris : 2.a) Les rectangles contenus dans D ont pour largeur 1/n et pour longueur f(1/n)
c'est exact pour le premier mais si le second a bien une largeur 1/n, je t'invite à rectifier sa longueur (ainsi que pour les suivants) ; que proposes tu ?
Réponse: Suites de kaleid, postée le 08-09-2015 à 21:09:37 (S | E)
Bonjour,
tout d'abord je vous remercie de votre aide mais ceci ne sera plus la peine vu qu'aujourd'hui notre prof. m'a expliqué l'exercice... mais je posterai dans quelque temps une correction pour les intéressés ^^.
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