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Nombres réels!
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de nina96 posté le 09-11-2015 à 17:23:48 (S | E | F)
bonsoir à tous et à toutes,
je suis étudiante en 1ère année tronc commun mathématiques et informatiques, et je rencontre quelques soucis en maths, plus précisément ce qui concerne les nombres réels. voici l'exercice:
soit A et B inclus dans R, deux ensembles non vides. on pose,
A+B={z=x+y, x appartenant à A, y appartenant à B}
A-B={z=x-y, x appartenant à A, y appartenant à B}
prouver que: sup(A+B)= supA + supB
j'aimerais bien avoir un peu d'aide, ne serait-ce que pour m'éclairer un tout petit peu.
merci!
Réponse: Nombres réels! de fransoise, postée le 12-11-2015 à 10:48:08 (S | E)
Bonjour
Démontrer une égalité (=) peut se faire en passant par les deux inégalités (> = et < =).
Dans ce cas, l'une est évidente par définition : sup(A) + sup(B)>= sup(A+B)
Pour démontrer la seconde, le plus simple est de le faire par l'absurde,
soit supposer que sup(A+B) > sup(A) + sup(B), démontrer ce que cela implique pour des éléments de A et de B et arriver à une contradiction (i.e. le postulat est faux).
À vous de jouer, bon courage.
Réponse: Nombres réels! de nina96, postée le 12-11-2015 à 17:45:23 (S | E)
tout d'abords j'aimerais vous remercier pour votre réponse.
j'ai cette idée: si (1) donc sup a+b est supérieur à tout les éléments de A et de B. or d'aprés la définition de la borne supérieure: A+B existe un autre z tél que sup a+b
or d'aprés (1) ce z là n'est pas sup.. j'ai un peu de mal à exprimer cette idée mathématiquement parlant!
Réponse: Nombres réels! de fransoise, postée le 13-11-2015 à 09:32:14 (S | E)
Bonjour,
L'idée est là, d'une façon plus "mathématique", comme vous l'avez remarqué
si sup(A+B) > sup(A) + sup(B), alors il existe un z de A+B / z > sup(A) + sup(B),
ce z s'écrit sous la forme a + b avec (a,b) appartenant à AxB, donc
a + b > sup(A) + sup(B)
maintenant un dernier effort avec ce que l'on sait de a et b par rapport à sup(A) et sup(B) et vous y êtes.
Courage, vous touchez au but.
Fransoise
PS : Faites un aperçu de votre message car des caractères n'apparaissent pas, merci.
Réponse: Nombres réels! de nina96, postée le 13-11-2015 à 10:54:01 (S | E)
merci encore de m'avoir répondu.
alors j'ai trouvé ceci:
si sup(A+B) > supA + supB, existe un z A+B / z> supA +supB...(1)
on pose z=a+b, en remplaçant dans (1) on trouve a+b > supA + supB d'une part
d'une autre: a A, existe un M R / a<M. je pose M= supA donc a A, a< supA....(2)
b B, existe un M' R / b<M. je pose M' donc b B, b < supB .....(3)
en additionnant (2) et (3) : a,b A, B / a+b < supA + supB
avec z= a+b , z < supA + supB contradiction avec (1) donc : sup(A+B) > supA + supB est fausse
en résumé:
sup(A) + sup(B)>= sup(A+B) ( sans démonstration ?)
aussi: sup(A+B) < supA + supB
au final: supA + supB = sup(A+B)
pourrai-je avoir votre avis sur ça?
merci encore!
Réponse: Nombres réels! de fransoise, postée le 13-11-2015 à 13:56:35 (S | E)
C'est ça,
en effet sup(A) + sup(B) > = sup(A+B), par définition
tout élément de A+B s'écrit sous la forme : a + b avec a appartenant à A, et b appartenant à B
et tout élément a de A est tel que sup(A) > = a (de même pour b et sup(B))
par addition sup(A) + sup(B) > = a + b quelques soient a et b, et y'a plus qu'à...
Je pense que vous avez compris, seule la mise en forme du raisonnement (qui vient au fil du temps et des exercices) vous manquait.
Persévérez et tout ira bien.
Réponse: Nombres réels! de nina96, postée le 13-11-2015 à 13:58:05 (S | E)
merci pour tout
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