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Message de justine45 posté le 01-11-2016 à 16:11:11 (S | E | F)
Bonjour
J'ai un DM à rendre pour la rentrée, mais je bloque sur deux questions d'un exercice, j'ai réussi les deux premières propositions mais après je n'y arrive plus. :/
Voilà l'énoncé, donc c'est un vrai/faux:
A) Si une suite tend vers 0 alors elle est ou bien minorée par 0 ou bien majorée par 0. [là j'ai réussi]
B) Si une suite (Un) est décroissante et minorée par 0 alors elle converge vers 0. [j'ai réussi aussi]
C) Si une suite (Un) est divergente et ne possède aucun terme nul alors la suite (Vn) définie par Vn= 1/Un est convergente.
D) Si une suite (Un) est bornée et est strictement monotone alors elle est convergente.
C'est la C) et la D) que je n'y arrive pas :/ Si quelqu'un pouvait me donner une piste, ce serait sympa. ^^
Merci d'avance de votre aide. :P
Message de justine45 posté le 01-11-2016 à 16:11:11 (S | E | F)
Bonjour
J'ai un DM à rendre pour la rentrée, mais je bloque sur deux questions d'un exercice, j'ai réussi les deux premières propositions mais après je n'y arrive plus. :/
Voilà l'énoncé, donc c'est un vrai/faux:
A) Si une suite tend vers 0 alors elle est ou bien minorée par 0 ou bien majorée par 0. [là j'ai réussi]
B) Si une suite (Un) est décroissante et minorée par 0 alors elle converge vers 0. [j'ai réussi aussi]
C) Si une suite (Un) est divergente et ne possède aucun terme nul alors la suite (Vn) définie par Vn= 1/Un est convergente.
D) Si une suite (Un) est bornée et est strictement monotone alors elle est convergente.
C'est la C) et la D) que je n'y arrive pas :/ Si quelqu'un pouvait me donner une piste, ce serait sympa. ^^
Merci d'avance de votre aide. :P
Réponse : TS > Limites de puente17, postée le 01-11-2016 à 21:07:06 (S | E)
Bonjour,
Il serait bien de connaitre votre réponse aux deux premières questions.
Il est bon aussi de pouvoir démontrer ce que l'on affirme, même si un jour d'examen il n'est pas toujours demandé de le faire.
• Pour une réponse qui sera 'faux', comme pour C le plus souvent il suffit d’exhiber un contre exemple. Une devinette : Trouver une suite divergente (Vn) telle que Vn = 1/Vn.
• Pour D : C'est un théorème de votre cours mais j'ignore si en terminale il est admis ou démontré (voir le cours). C'est un cas particulier de : toute fonction monotone et bornée admet une limite
Réponse : TS > Limites de ichiwow, postée le 07-11-2016 à 06:56:13 (S | E)
Rapidement, pour la C., tu devras utiliser un contre-exemple comme dit précédemment par puente17, selon moi les fct. trigo. tel que sinus et cosinus font parfaitement l'affaire.
Après, tu dois étudier sa limite pour le prouver je suppose.
Je pense qu'une preuve comme ça suffit :
Prenons (Un) = Sin(n)
Or la fonction (Un) est divergente, donc elle n'a pas de limite en +infini
Il vient que (le tout en +infini) lim(Vn) = lim(1)/lim(Un)
Comme lim(Un) n'existe pas, car (Un) divergente.
Cela implique que, lim(Vn) n'existe pas.
Donc, (Vn) est une suite divergente car elle ne possède pas de limites finies
Ou sinon, je viens d'y penser en écrivant ce qu'il y a plus haut, tu peux partir sur un raisonnement par l'absurde :
i.e. prenons (Un) = sin(n) sans limites finies en +infini
Il vient que lim (1/sin(n)) est finie
Or sin(n) diverge, donc 1/sin(n) diverge
On en conclut que (Vn) diverge aussi
(J'ai raccourci car je dois aller réviser, mais je pense que la méthode est là dans les deux cas)
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