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Éléments d'un anneaux
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Message de tibad2517 posté le 19-12-2016 à 15:28:46 (S | E | F)
Bonjour. Je n'arrive pas à répondre à cette question 3-)
Soit (A,+,.) un anneau vérifiant :
Quelque soit x€A x²=x
1-)Donner un exemple de tel anneau.
2-)Montrer que:quelque soit a€A,2a=0.En déduire que (A,+,.) est commutatif
3-) Montrer que A ne peut pas se réduire à 3 éléments.
4-)On suppose que A est fini et de cardinal supérieur à 2.Montrer que A possède un diviseur de zéro.
Message de tibad2517 posté le 19-12-2016 à 15:28:46 (S | E | F)
Bonjour. Je n'arrive pas à répondre à cette question 3-)
Soit (A,+,.) un anneau vérifiant :
Quelque soit x€A x²=x
1-)Donner un exemple de tel anneau.
2-)Montrer que:quelque soit a€A,2a=0.En déduire que (A,+,.) est commutatif
3-) Montrer que A ne peut pas se réduire à 3 éléments.
4-)On suppose que A est fini et de cardinal supérieur à 2.Montrer que A possède un diviseur de zéro.
Réponse : Éléments d'un anneaux de puente17, postée le 19-12-2016 à 18:00:59 (S | E)
Bonjour,
Nous sommes là pour essayer de vous aider,pas pour faire votre travail.
Pourriez vous mettre en ligne la partie que vous avez résolue.
Je suppose qu'il s'agit d'anneau unitaire.
Pour le 3) on peut trouver un anneau à 2 éléments il me semble en reprenant un cas particulier de l'exemple typique que l'on peut donner en 1).
Il faut donc montrer que si notre anneau possède au moins 3 éléments il en a forcément un quatrième.
Soit 0, 1 et a, 3 éléments de notre anneau (avec 0 et 1 les 2 unités) peut-on montrez que a+1 est différent des 3 autres?
Bonne suite.
Réponse : Éléments d'un anneaux de tibad2517, postée le 19-12-2016 à 19:13:07 (S | E)
D'accord j'ai compris.On demontre par absurde.
On suppose que (A,+.)={0,1,a} avec a différent de 0 et 1
a € A => (a+1)²=(a+1)
Soit a²+a+a+1=a+1
=> a+a=0
=> a=0 absurde donc (A,+,.) ne peut pas se réduire à 3 éléments.
Voici ma réponse pour
pour la question 2(Montrer que quelque soit a €A,2a=0)
Quelque soit a € A :
(2a)²=2a
=>2a(2a-1)=0
=> 2a=0 ou 2a-1 =0 donc
Quelque soit a € A : 2a=0
Réponse : Éléments d'un anneaux de tibad2517, postée le 19-12-2016 à 19:38:22 (S | E)
D'accord j'ai compris.On demontre par absurde.
On suppose que (A,+.)={0,1,a} avec a différent de 0 et 1
a € A => (a+1)²=(a+1)
Soit a²+a+a+1=a+1
=> a+a=0
=> a=0 absurde donc (A,+,.) ne peut pas se réduire à 3 éléments.
Voici ma réponse pour
pour la question 2(Montrer que quelque soit a €A,2a=0)
Quelque soit a € A :
(2a)²=2a
=>2a(2a-1)=0
=> 2a=0 ou 2a-1 =0 donc
Quelque soit a € A : 2a=0
Réponse : Éléments d'un anneaux de tibad2517, postée le 19-12-2016 à 19:38:28 (S | E)
D'accord j'ai compris.On demontre par absurde.
On suppose que (A,+.)={0,1,a} avec a différent de 0 et 1
a € A => (a+1)²=(a+1)
Soit a²+a+a+1=a+1
=> a+a=0
=> a=0 absurde donc (A,+,.) ne peut pas se réduire à 3 éléments.
Voici ma réponse pour
pour la question 2(Montrer que quelque soit a €A,2a=0)
Quelque soit a € A :
(2a)²=2a
=>2a(2a-1)=0
=> 2a=0 ou 2a-1 =0 donc
Quelque soit a € A : 2a=0
Réponse : Éléments d'un anneaux de puente17, postée le 20-12-2016 à 17:39:09 (S | E)
Bonjour,
Il y a un problème avec : Soit a²+a+a+1=a+1
=> a+a=0
=> a=0 absurde donc (A,+,.) ne peut pas se réduire à 3 éléments.
en effet 2a = 0 n'entraîne pas que a = 0, sauf si l'anneau est intègre, ce qui n'est pas le cas d'aprés la conclusion du 2) : pour tout a, 2a = 0
Montrez que a+1 = 1 absurde, que a+1 = a absurde et que a+1 = 0 absurde en utilisant le 2)pour le dernier cas puisque 2*1 = 0 → 1 = -1
, un truc de fou!Bon pour faire concret pensez à l'anneau de l'ensemble des parties d'un ensemble avec comme opérations la différence symétrique et l'intersection (E delta E = vide et donc l'opposé de E c'est E or E c'est l'unité)
Réponse : Éléments d'un anneaux de tibad2517, postée le 23-12-2016 à 13:56:57 (S | E)
Soit(A,+,.) un anneau vérifiant : quelque soit x€A x²=x.Supposons que A est fini et que Card(A)>2.Montrer que A possède un diviseur de zéro
Réponse : Éléments d'un anneaux de tibad2517, postée le 23-12-2016 à 14:02:50 (S | E)
Je n'ai pas bien compris votre réponse:E=opposé de E .En quoi cela peut -il me guider?
Réponse : Éléments d'un anneaux de puente17, postée le 23-12-2016 à 18:14:31 (S | E)
Bonjour,
supposons que 0 différent de 1, 0 diff. a, et 1 diff. de a.
Montrez que a+1 diff 0; a+1 diff 1 et a+1 diff a.
(a + 1 = 0 → a = -1 or -1 = 1 donc a = 1 contradition donc a +1 diff 0) je vous laisse démontrer les deux autres diff et en tirer la conclusion.
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