Petit problème

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Petit problème
Message de netm posté le 03-01-2017 à 05:09:44 (S | E | F)
Bonjour à tous , m'entraînant pour les olympiades de mathématique je suis confronté à des problèmes qui me hantent sans relâche pouvez vous m'aider s'il vous plaît à les résoudre ? Je suis preneur de toutes suggestions ,conseils , résolutions ( même si vous n'êtes pas sûr qu'elle soit bonne ) , merci beaucoup !!! (J'édite souvent ce 1er poste , en disant qu'elle exercice a déjà été résolu )

EXERCICE RESOLU ( Mais si vous avez eu une autre résolution , vous pouvez quand même la partager :p ) Tout d'abord : Combien existe-t-il de rectangles d'aire 2004 cm² dont les dimensions sont des nombres entiers de cm ? ( C'est une question 8 , sachant qu'il y a 30 questions qui vont dans l'ordre croissant de difficulté , elle devrait être relativement facile , sachant aussi que le temps est vraiment compter pendant les olympiades je ne vois pas d'astuce rapide hormis taper des nombres au hasard )

EXERCICE RESOLU Question suivant ( une 14 qui vous permettra d'ailleurs de mieux comprendre le principe ) : Le questionnaire de l'OMB comporte 30 questions . Une bonne réponse rapporte 5 points , une abstention rapporte 2 points et une réponse fausse aucun point . Quel est le nombre de scores possible ? ( J'ai essayé de résoudre l'exercice , je pensais même avoir réussi , mais en regardant la bonne réponse j'étais assez bouleversé )

Une question 6 : Combien existe-t-il de nombres de quatre chiffres non nuls distincts dont la somme des chiffres est 12 ? Il y a 5 réponses possible : 2 24 48 56 Plus de cent ( Sachant que le temps est très précieux pendant les olympiades , on ne peut évidemment pas se permettre de compter , avez vous une astuce ? )

Une question 23 : Dans un triangle de base 10 et de hauteur 5, est inscrit un carré , dont un côté est sur la base du triangle . Quelle est l'aire de ce carré ? 5 réponses possible : 4 16 25 100/9 Elle dépend du triangle .

EXERCICE RESOLU( Mais si vous avez la démonstration sans remplacez par des valeurs numériques , vous pouvez la mettre :p ) Et enfin une question qui m'a pris pas mal de temps pour n'arriver à rien de concluant , pour une meilleur lisibilité , je pose le lien avec la question :

Lien internet

C'est la question 13 , avec les suites Après un long moment je trouve que : Sn = Sn-1 +3n-2 et que S2n = S2n-1 + 3.2n-2 ( n'ayant pas encore fait les suites en cours ) , ensuite je suis bloqué , je ne vois pas comment mettre en lien tout ça pour obtenir la réponse demandé .

Voilà c'est tout , si vous arrivez à répondre à un , ou plusieurs de ces exercices , ça serait très gentil , merci beaucoup !!!

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Modifié par netm le 03-01-2017 05:10

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Réponse : Petit problème de puente17, postée le 03-01-2017 à 17:05:52 (S | E)
Bonjour,
n° 8: il s'agit d'un produit et de nombres entiers il n'est pas farfelu de penser à la décomposition en facteurs premiers de 2004. sachant que 167 est premier ça ne fait pas beaucoup de possibilités.
n° 14: Plus dur c'est vrai.
Le score dépend du nombres de 5 et du nombre de 2, plus un détail à préciser ensuite.
Le nombre de 5 va de 0 à 30 ce qui fait 31 possibilités. Supposons qu'il y ait 10 fois le 5 il nous sera possible d'avoir le 2 entre 0 et 20, on complétera alors avec des zéros.
Pour 0 '5' il y a 31 possibilités de choisir les 2 et donc les 0.
Pour 1 '5' il y a 30 ...
Pour 2 '5' il y a 29 ...
par conséquent on aura 31+30+29+...+1 Possibilités.
Parmi ces possibilités certaines donnent le même résultat par exemple considérons la notation (a,b,c) avec a le nb de 5, b le nb de 2 et c le nb de 0:
(2, 0, 28) et (0, 5, 25) donnent le même score : 10 il faudra donc en décompter 1
de même (4, 0, 26); (2, 5, 23) et ((0, 10,20) : 20 il faudra en.... 2
de même (6, 0, 24);...il faudra en ... 3
de même (8, 0, 22);... il faudra en ... 4
etc.
On peut se permettre ce raisonnement car chaque ligne représente des scores différents donc ce sont des 'paquets' disjoints.
Attention la fin ne donne pas des résultats 'réguliers' car on ne peut pas avoir un nombre de zéros négatif!

Bon appétit, moi je me contenterais des amuses g.

Remarque: dans votre question 6, en supposant que ce soit les nombres et non les chiffres de ces nombres qui soient non nuls et distincts???avez-vous pensez à évaluer la quantité de nombres commençant par 3, sauf erreur on arrive à 45 alors dans ces conditions dans un concours de ce genre je ne vais pas plus loin et je choisi la dernière possibilité .

Réponse : Petit problème de netm, postée le 03-01-2017 à 18:01:31 (S | E)
Tout d'abord je vous remercie pour votre réponse et vos explications , déjà pour la question 6 , la réponse n'est pas E ( plus de cent ) mais C ( 48 ) , , j'ai compris votre point de vu , si déjà au 3 on arrive à 45 , l'ensemble de tout les chiffres sera sans doute très grand , en gros pour l'énoncé on demande :

Un nombre composé de quatre chiffre nons nuls et distincts dont la somme vaut 12 , par exemple 1245 mais alors il y a aussi 1425 ou encore 1452 etc etc , donc à partir d'un nombre , en déplaçant l'ordre des chiffres on obtient un autre nombre dont la somme des chiffres vaut toujours 12 ( ce qui est logique ) mais comment calculer le nombre de possibilité par nombre ? c'est là que je bloque , sachant que c'est une question 6 ça devrait être très simple ( Je n'ai pas encore vu les probabilités en cours , donc j'y vais au bons sens et je ne connais surement pas les formules existantes ) .

Pour le 8 oui c'était très simple Mais est ce que calculer le nombre de diviseur n'est pas plus rapide que la décomposition en facteur premier ? Enfin c'est peut être ce que vous vouliez dire ?(vu que pour connaitre le nombre de diviseurs on décompose en facteurs premiers) ,à moins que j'ai raté une autre façon de faire , je suis preneur de toutes les méthodes Moi j'ai fait comme ça : On sait que 2004 a 12 diviseurs , donc 6 couples ( 1.2004 , 2.1002 , .... ,) qui est la bonne réponse ,

Pour le 14 , je vais y travailler maintenant , sachant que c'est une question sans réponses préformulées c'est assez périlleux d'y répondre pendant les vrais olympiade .

Merci beaucoup en tout cas , si les gens ont d'autre conseils , proposition , résolution , ne vous gênez pas

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Modifié par netm le 03-01-2017 18:03

Réponse : Petit problème de netm, postée le 03-01-2017 à 18:45:44 (S | E)
Je viens d'analyser votre méthode pour le 14 , c'est pas mal , mais le souci , c'est qu'on ne calcul que multiples de 10 , on ne doit pas oublier que les scores comme 102 sont aussi possible , comment on pourrait faire avec méthode ? ça serait beaucoup trop long non ? A la limite on peut jouer avec les ordres par exemple ( 4 ; 0 , 26 ) = 20 ( 4 : 1 ; 25) =22 et (3 : 1 ;26 ) = 17 , donc quand on déplace un 5 , pour le mettre dans un 2 on fait ) -3 et quand on déplace un 0 on fait +2 ce qui est logique , et comme on a trouvé les nombres ronds , on peut se dire que les réponses de la forme .2 et .7 sont toutes possibles ?

Je me demande si il ne faut pas prendre le problème à l'envers et trouver les scores impossibles à faire tels que 1 par exemple , mais il n'y aurait rien de vraiment mathématique et aucun moyen de vérifier qu'il n'y en pas d'autre Si quelqu'un a une idée

EDIT voici ma résolution :

Déjà x+y >/ 30
Et 5x+2y est compris entre 0 et 150 ( inclus )
Donc on cherche des 5x+2y impossible avec ces 2 conditions

Ce qui est impossible :

Forcement 1
149 car x+y>/30 or 149=5.29 + 2.2 ( On s'aperçoit ici que le score maximum possible en utilisant des 5 ET des 2 est 147 )
donc 148 est impossible aussi
Pour faire ceux qui se finissent par 6 , il faut que ça soit de la forme 5.x+2.3 avec x étant un nombre pair
5x+2.3 = 146
5x=140
x = 28 mais 28+3 = 31 donc impossible aussi ( mais 144 lui est faisable )
Ensuite pour faire ceux qui se terminent par 3 , il faut faire 5.x + 2.4 avec x étant impaire
5x+8=143
x=27 mais 27+4 = 31 donc impossible aussi , ( mais 141 est possible )
Donc on a notre petit liste : 1 143 146 148 149
La réponse est donc 145 scores possibles

Mais si quelqu'un à une autre méthode , je suis preneur

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Modifié par netm le 03-01-2017 19:24

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Modifié par netm le 03-01-2017 20:33

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Modifié par netm le 04-01-2017 04:13

Réponse : Petit problème de tiruxa, postée le 04-01-2017 à 10:59:16 (S | E)
Bonjour

J'avais à peu près la même méthode, mais tu as oublié le score 3 qui est impossible à atteindre donc 150 - 6 soit 144 scores possibles.

Réponse : Petit problème de netm, postée le 04-01-2017 à 11:45:45 (S | E)
Ah c'est correct merci , mais le problème c'est que la réponse est 145 score , donc il doit y avoir une faute
Edit : La faute provient des calculs , il y a 151 score entre [0:150] , on en retire 6 = 145

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Modifié par netm le 04-01-2017 11:50

Réponse : Petit problème de tiruxa, postée le 04-01-2017 à 14:40:56 (S | E)
En effet, bien vu !!

Pour le 6, sans faire le cours de probas il faut au moins connaitre le nombre de permutations possibles pour n objets (distincts)
Ce nombre est n! (lire factorielle n) et vaut n*(n-1)*...*3*2*1

Donc pour 4 objets il y a 4*3*2*1 soit 24 permutations.

Retour à l'exercice :

12=1+2+3+6 (on peut permuter les 4 chiffres, donc 24 solutions)
12=1+2+4+5 (24 permutations possibles egalement)

Donc en tout 48 possibilités.

Tu peux t'entrainer en remplaçant 12 par 13 ou encore 28 (avec 4 chiffres distincts on arrive à 30 maximum)

Réponse : Petit problème de tiruxa, postée le 04-01-2017 à 14:58:57 (S | E)
Pour la question 13 sur les suites (ici arithmetiques) il faut connaitre deux formules :

le neme terme est : 1er terme + (n-1) * raison (la raison est le nombre que l'on ajoute pour passer d'un terme au terme suivant ici c'est 3)

la somme des premiers termes est : (1/2)* (1er terme + dernier terme)* nombre de termes

Donc ici le neme terme est 1 + (n-1)*3 = 3n-2

La somme des n premiers termes est Sn=(1/2)*(1+3n-2)*n = (1/2)n(3n-1)

Il suffit alors de remplacer n par (2n) puis de soustraire et factoriser pour obtenir le résultat C.

Réponse : Petit problème de netm, postée le 04-01-2017 à 15:13:25 (S | E)
Ah jolie , je connaissais les factorielles grâce au olympiade justement , mais je ne savais pas que ça intervenait dans ce genre de chose , et une question un peu stupide surement , comment être sûr que 12 ne s'écrit que de ces 2 manières , y'a un moyen mathématique ou pas ? De toute façon on sait directement que la réponse sera un multiple de 24 , on en a déjà deux , donc il reste juste la C ou la E , et à moins d'avoir oublier 3 autre façon de l'écrire , c'est la C , mais bon pour être sûr , ou si jamais ce n'est pas un QCM

Et sinon la question 23 , quelqu'un y arrive ?

Edit : je n'avais pas vu que vous aviez répondu pour la 13 , j'avais réussi à le faire entre temps , mais qu'en remplacant par des valeurs numériques , merci beaucoup pour la démonstration !

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Modifié par netm le 04-01-2017 15:56

Réponse : Petit problème de tiruxa, postée le 04-01-2017 à 16:14:19 (S | E)
Bon pour être sûr de ne rien oublier dans une somme, on commence par le minimum, pour 4 nombres c'est 10 (1+2+3+4)
Il faut donc ajouter 2, on peut ajouter 2 au plus grand ou bien 1 à chacun des deux plus grands, ce qui donne :
1+2+3+6 ou 1+2+4+5.

Si l'on veut obtenir 13 il faut ajouter 3 donc soit 3 au plus grand, soit 2 au plus grand et 1 à celui d'avant soit enfin 1 à chacun des 3 plus grands.
Donc 1+2+3+7= 1+2+4+6 = 1+3+4+5

Bon en augmentant cela devient vite compliqué, mais à l'autre bout pour les grands nombres, 28 par ex :
On part du max qui est 30=9+8+7+6
et l'on enlève 2 d'un coup ou avec deux fois 1.

28=9+8+7+4=9+8+6+5

Réponse : Petit problème de tiruxa, postée le 04-01-2017 à 16:24:07 (S | E)
Enfin pour le 23 :

voir cette figure (construction dudit carré dans un triangle)
Lien internet

si on appelle x le côté du carré, le rapport de l'homothétie est db/DB ou x/10

mais aussi hauteur du triangle Abc / hauteur du triangle ABC = 5/15 = 1/3

donc x/10 = 1/3 et x= 10/3.

Voilà bon courage mais tu as l'air d'en avoir

Réponse : Petit problème de puente17, postée le 04-01-2017 à 16:55:19 (S | E)
Bonjour,
J’appellerai 'base' le plus grand côté d'un triangle (un triangle a 3 hauters et donc 3 bases correspondant à chacune de ces hauteurs)
Soit ABC ce triangle de base BC. Le placer dans un repère orthonormé avec A sur l'axe des ord. et [BC]sur les abscisses.
Traçons une parallèle à la base qui coupe les deux autres côtés en E et F. E' et F' leur proj. ortho. sur la base. soit h l'ordonnée de E et F.
Calculer EF en fonction de h (cf Thalès) et poser ensuite EF = h pour que le rectangle EFF'E' soit un carré. On arrive à 100/9.

Désolé pour l'exercice 6 j'ai mal interprété l'adjectif 'distincts'. effectivement avec 'chiffres distincts' c'est totalement différent et plus facile à dénombrer.
remarque: Si le couple {1,2} n'est pas choisi on aura besoin de trois autres 'chiffres' dont la somme sera au moins égale à 3+4+5 =12 ??? impossible.

Réponse : Petit problème de netm, postée le 04-01-2017 à 23:57:29 (S | E)
Merci beaucoup tiruxa pour votre explication pour être sûr de ne pas oublier de nombre , et merci pour 23 :o En fait le plus dur était dans la manière de faire le dessin ? Les calculs ne semblent pas très dur , mais bon il fallait déjà savoir le faire , pas évident d'y penser

Merci beaucoup puente17 pour votre résolution , je vais l'analyser tranquillement Merci beaucoup ! ( Je ferais surement un autre sujet avec d'autre exercice , je pense qu'on les a tous fait , mais si vous avez d'autre manière de faire , je vous en prie )

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